高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 两个向量的数量积课件 新人教B版选修21.ppt

第三章3 1空间向量及其运算 3 1 3两个向量的数量积 1 掌握空间向量夹角概念及表示方法 2 掌握两个向量的数量积的概念 性质 计算方法及运算规律 3 掌握两个向量的数量积的主要用途 能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一两个向量的数量积 思考1 如图所示 在空间四边形oabc中 oa 8 ab 6 ac 4 bc 5 oac 45 oab 60 类比平面向量有关运算 如何求向量与的数量积 并总结求两个向量数量积的方法 答案 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角 当夹角和长度不确定时 可用已知夹角和长度的向量来表示该向量 再代入计算 思考2 等边 abc中 与的夹角是多少 答案 120 梳理 1 定义 已知两个非零向量a b 则 a b cos a b 叫做a b的数量积 或内积 记作a b 2 数量积的运算律 a b b a a c b c 知识点二两个向量的夹角 1 定义 已知两个非零向量a b 在空间任取一点o 作 a b 则叫做向量a与b的夹角 记作 a b 2 范围 a b 特别地 当 a b 时 a b 0 aob 知识点三两个向量的数量积的性质 a 2 a b a b a b 0 题型探究 命题角度1空间向量数量积的基本运算例1 1 下列命题是否正确 正确的请给出证明 不正确的给予说明 p2 q2 p q 2 解答 类型一空间向量的数量积运算 此命题不正确 p2 q2 p 2 q 2 而 p q 2 p q cos p q 2 p 2 q 2 cos2 p q 当且仅当p q时 p2 q2 p q 2 p q p q p2 q2 解答 此命题不正确 p2 q2 p q p q p q p q cos p q p q 当且仅当 p q p q 时 p2 q2 p q p q 若a与 a b c a c b均不为0 则它们垂直 解答 此命题正确 a a b c a c b a a b c a a c b a b a c a b a c 0 且a与 a b c a c b均为非零向量 a与 a b c a c b垂直 2 设 a b 120 a 3 b 4 求 a b 解答 a b a b cos a b a b 3 4 cos120 6 3a 2b a 2b 解答 3a 2b a 2b 3 a 2 4a b 4 b 2 3 a 2 4 a b cos120 4 b 2 3a 2b a 2b 3 9 4 3 4 4 16 27 24 64 61 1 已知a b的模及a与b的夹角 直接代入数量积的公式计算 2 如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积 可以先利用数量积的运算律将多项式展开 再利用a a a 2及数量积公式进行计算 反思与感悟 跟踪训练1已知a b均为单位向量 它们的夹角为60 那么 a 3b 等于 a 3b 2 a 3b 2 a2 6a b 9b2 1 6 cos60 9 13 答案 解析 命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 4 e为侧面ab1的中心 f为a1d1的中点 试计算 则 a c 2 b 4 a b b c c a 0 解答 解答 解答 反思与感悟 两向量的数量积 其运算结果是数量 而不是向量 零向量与任意向量的数量积为0 向量的数量积不满足结合律 跟踪训练2已知正四面体o abc的棱长为1 求 12 1 1 cos60 2 1 1 cos60 1 1 cos60 12 2 1 1 cos60 1 解答 解答 命题角度1利用数量积求夹角例3已知bb1 平面abc 且 abc是 b 90 的等腰直角三角形 abb1a1 bb1c1c的对角线都分别相互垂直且相等 若ab a 求异面直线ba1与ac所成的角 类型二利用数量积求夹角或模 解答 如图所示 ab bc bb1 ab bb1 bc 又 异面直线所成的角是锐角或直角 异面直线ba1与ac所成的角为60 反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法 跟踪训练3已知 po pa分别是平面 的垂线 斜线 ao是pa在平面 内的射影 l 且l oa 求证 l pa 证明 因为po 且l 所以l po 所以l pa 命题角度2利用数量积求模 或距离 例4如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 ab 1 ad 2 aa1 3 bad 90 baa1 daa1 60 求ac1的长 解答 因为 bad 90 baa1 daa1 60 反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离 可以转化为求向量的模的问题 其基本思路是先选择以两点为端点的向量 将此向量表示为几个已知向量的和的形式 求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模 利用公式 a 求解即可 跟踪训练4如图 已知线段ab 平面 bc cd bc df 平面 且 dcf 30 d与a在 的同侧 若ab bc cd 2 求a d两点间的距离 解答 12 2 2 2 cos90 2 2 cos120 2 2 cos90 8 例5如图 在空间四边形oabc中 ob oc ab ac 求证 oa bc 证明 类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题 因为ob oc ab ac oa oa 所以 oac oab 所以 aoc aob 反思与感悟 1 证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量 看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直 2 证明与空间向量a b c有关的向量m n垂直的方法先用向量a b c表示向量m n 再判断向量m n的数量积是否为0 跟踪训练5已知向量a b满足 a 2 b 且a与2b a互相垂直 则a与b的夹角为 a与2b a垂直 a 2b a 0 即2a b a 2 0 2 a b cos a b a 2 0 45 又 a b 0 180 a与b的夹角为45 答案 解析 当堂训练 1 已知a b c是两两垂直的单位向量 则 a 2b 3c 等于 1 2 3 4 5 答案 解析 a 2b 3c 2 a 2 4 b 2 9 c 2 4a b 6a c 12b c 14 1 2 3 4 2 在长方体abcd a1b1c1d1中 下列向量的数量积一定不为0的是 5 答案 解析 1 2 3 4 5 选项a 当四边形add1a1为正方形时 可得ad1 a1d 而a1d b1c 所以ad1 b1c 此时有 0 选项b 当四边形abcd为正方形时 易得ac bd 可得ac 平面bb1d1d 故有ac bd1 此时 0 选项c 由长方体的性质可得ab 平面add1a1 所以ab ad1 所以 0 故选d 其中真命题的个数为a 1b 2c 3d 0 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 有下列命题 解析 答案 不正确 故选b 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 已知正四面体abcd的棱长为2 e f分别为bc ad的中点 则ef的长为 12 22 12 2 1 2 cos120 0 2 1 cos120 2 答案 解析 规律与方法 1 空间向量运算的两种方法 1 利用定义 利用a b a b cos a b 并结合运算律进行计算