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第8章正弦电流电路的稳态分析 重点 相位差 正弦量的相量表示 复阻抗复导纳 相量图 用相量法分析正弦稳态电路 正弦交流电路中的功率分析 8 1正弦量的基本概念 一 正弦量 按正弦规律变化的量 瞬时值表达式 i t Imsin wt y 波形 周期T period 和频率f frequency 频率f 每秒重复变化的次数 周期T 重复变化一次所需的时间 f 1 T 单位 Hz 赫 兹 单位 s 秒 1 幅值 amplitude 振幅 最大值 Im 反映正弦量变化幅度的大小 2 角频率 angularfrequency w 每秒变化的角度 弧度 反映正弦量变化快慢 二 正弦量的三要素 3 初相位 initialphaseangle y 反映了正弦量的计时起点 wt y 表示正弦量随时间变化的进程 称之为相位角 它的大小决定该时刻正弦量的值 当t 0时 相位角 wt y y 故称y为初相位角 简称初相位 它表示了正弦量的起点 2 t 单位 rad s 弧度 秒 i t Imsin wt y 同一个正弦量 计时起点不同 初相位不同 0 2 2 一般规定 三 同频率正弦量的相位差 phasedifference 设u t Umsin wt yu i t Imsin wt yi 则相位差即相位角之差 j wt yu wt yi yu yi j 0 u领先 超前 Ij角 或i落后 滞后 uj角 u比i先到达最大值 j 0 i领先 超前 u j 角 或u落后 滞后 i j 角 i比u先到达最大值 恰好等于初相位之差 j 0 同相 j 180o 反相 规定 y 180 特殊相位关系 p 2 u领先ip 2 不说u落后i3p 2 i落后up 2 不说i领先u3p 2 同样可比较两个电压或两个电流的相位差 8 2周期性电流 电压的有效值 周期性电流 电压的瞬时值随时间而变 为了衡量其大小工程上采用有效值来表示 电流有效值定义为 瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根 物理意义 周期性电流i流过电阻R 在一周期T内吸收的电能 等于一直流电流I流过R 在时间T内吸收的电能 则称电流I为周期性电流i的有效值 有效值也称均方根值 root meen square 简记为rms 1 周期电流 电压有效值 effectivevalue 定义 W2 I2RT 同样 可定义电压有效值 2 正弦电流 电压的有效值 设i t Imsin t 同理 可得正弦电压有效值与最大值的关系 若一交流电压有效值为U 220V 则其最大值为Um 311V U 380V Um 537V 工程上说的正弦电压 电流一般指有效值 如设备铭牌额定值 电网的电压等级等 但绝缘水平 耐压值指的是最大值 因此 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 测量中 电磁式交流电压 电流表读数均为有效值 注意区分电压 电流的瞬时值 最大值 有效值的符号 1 复数A表示形式 A a jb 8 3正弦量的相量表示 一 复数及运算 两种表示法的关系 或 2 复数运算 则A1 A2 a1 a2 j b1 b2 1 加减运算 直角坐标 若A1 a1 jb1 A2 a2 jb2 加减法可用图解法 2 乘除运算 极坐标 除法 模相除 角相减 例1 乘法 模相乘 角相加 则 解 例2 3 旋转因子 复数ejq cosq jsinq 1 q A ejq相当于A逆时针旋转一个角度q 而模不变 故把ejq称为旋转因子 解 上式 ejp 2 j e jp 2 j ejp 1故 j j 1都可以看成旋转因子 几种不同 值时的旋转因子 两个正弦量 i1 i2 i3 无论是波形图逐点相加 或用三角函数做都很繁 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量 所以 只要确定初相位和有效值 或最大值 就行了 于是想到复数 复数向量也包含一个模和一个幅角 因此 我们可以把正弦量与复数对应起来 以复数计算来代替正弦量的计算 使计算变得较简单 角频率 有效值 初相位 二 正弦量的相量表示 i1 i2 i3 1 正弦量的相量表示 造一个复函数 没有物理意义 若对A t 取虚部 是一个正弦量 有物理意义 对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数 A t 包含了三要素 I w 复常数包含了I A t 还可以写成 加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 强调它与正弦量的联系 同时也改用 相量 而不用 向量 是因为它表示的不是一般意义的向量 而是表示一个正弦量 称为正弦量i t 对应的相量 正弦量的相量表示 相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系 已知 例1 试用相量表示i u 解 相量图 相量和复数一样可以在平面上用向量表示 例2 试写出电流的瞬时值表达式 解 我们用向量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义 请看演示 ej t为一模为1 幅角为 t的相量 随t的增加 模不变 而幅角与t成正比 可视其为一旋转相量 当t从0 T时 相量旋转一周回到初始位置 t从0 2 2 相量运算 1 同频率正弦量相加减 故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算 这实际上是一种变换思想 可得其相量关系为 例 同频正弦量的加 减运算可借助相量图进行 相量图在正弦稳态分析中有重要作用 尤其适用于定性分析 首尾相接 2 正弦量的微分 积分运算 微分运算 积分运算 相量微分 相量积分 3 相量法的应用 求解正弦电流电路的稳态解 微分方程的特解 例 一阶常系数线性微分方程 自由分量 齐次方程解 Ae R Lt 强制分量 特解 Imsin wt yi 解 用相量法求 取相量 小结 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解 即可用来分析正弦稳态电路 8 4电阻 电感和电容元件上电压和电流的相量关系 一 电阻 时域形式 相量形式 相量模型 有效值关系 UR RI 相位关系 u i u i同相 相量关系 瞬时功率 波形图及相量图 瞬时功率以2 交变 但始终大于零 表明电阻始终是吸收 消耗 功率 二 电感 时域形式 相量形式 相量模型 相量关系 1 相量关系 感抗的物理意义 1 表示限制电流的能力 U XLI LI 2 fLI 2 感抗和频率成正比 相量表达式 XL L 2 fL 称为感抗 单位为 欧姆 BL 1 L 1 2 fL 感纳 单位为S 同电导 2 感抗和感纳 功率 波形图 瞬时功率以2 交变 有正有负 一周期内刚好互相抵消 三 电容 时域形式 相量形式 相量模型 有效值关系 IC wCU 相位关系 i u 90 i超前u90 相量关系 令XC 1 wC 称为容抗 单位为W 欧姆 BC wC 称为容纳 单位为S 频率和容抗成反比 w 0 XC 直流开路 隔直 w XC 0高频短路 旁路作用 功率 波形图 容抗与容纳 瞬时功率以2 交变 有正有负 一周期内刚好互相抵消 相量表达式 8 5复阻抗 复导纳及其等效变换 1 复阻抗与复导纳 正弦激励下 单位 阻抗模 阻抗角 复导纳Y 对同一二端网络 2 R L C元件的阻抗和导纳 1 R 2 L 3 C 单位 S 3 RLC串联电路 用相量法分析R L C串联电路的阻抗 由KVL 其相量关系也成立 Z 复阻抗 R 电阻 阻抗的实部 X 电抗 阻抗的虚部 Z 复阻抗的模 阻抗角 关系 或 具体分析一下R L C串联电路 Z R j wL 1 wC Z j wL 1 wC X 0 j 0 电路为感性 电压领先电流 wL 1 wC X 0 j 0 电路为容性 电压落后电流 wL 1 wC X 0 j 0 电路为电阻性 电压与电流同相 画相量图 选电流为参考向量 wL 1 wC 三角形UR UX U称为电压三角形 它和阻抗三角形相似 即 例 已知 R 15 L 0 3mH C 0 2 F 求i uR uL uC 解 其相量模型为 则 UL 8 42 U 5 分电压大于总电压 相量图 4 RLC并联电路 由KCL Y 复导纳 G 电导 导纳的实部 B 电纳 导纳的虚部 Y 复导纳的模 导纳角 关系 或 Y G j wC 1 wL Y j wC 1 wL B 0 j 0 电路为容性 i领先u wC 1 wL B 0 j 0 电路为感性 i落后u wC 1 wL B 0 j 0 电路为电阻性 i与u同相 画相量图 选电压为参考向量 wC 1 wL 0 RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象 5 复阻抗和复导纳的等效互换 一般情况G 1 RB 1 X 若Z为感性 X 0 则B 0 即仍为感性 同样 若由Y变为Z 则有 8 6基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型 1 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 因此 在正弦电流电路中 KCL和KVL可用相应的相量形式表示 上式表明 流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL 而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL 2 电路的相量模型 phasormodel 时域列写微分方程 相量形式代数方程 时域电路 相量模型 相量模型 电压 电流用相量 元件用复数阻抗或导纳 3 相量图 1 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中 2 反时针旋转角速度 3 选定一个参考相量 设初相位为零 例 上例中选 R为参考相量 用途 利用比例尺定量计算 定性分析 小结 1 求正弦稳态解是求微分方程的特解 应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题 2 引入电路的相量模型 不必列写时域微分方程 而直接列写相量形式的代数方程 3 引入阻抗以后 可将所有网络定理和方法都应用于交流 直流 f 0 是一个特例 8 7用相量法分析电路的正弦稳态响应 电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较 可见 二者依据的电路定律是相似的 只要作出正弦电流电路的相量模型 便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中 例1 已知Z1 10 j6 28 Z2 20 j31 9 Z3 15 j15 7 求Zab 同直流电路相似 阻抗串并联的计算 解 画出电路的相量模型 瞬时值表达式为 解毕 列写电路的回路电流方程和节点电压方程 例3 解 回路法 节点法 法一 电源变换 解 例4 法二 戴维南等效变换 例5 用叠加定理计算电流 求开路电压 求等效电阻 解 已知平衡电桥Z1 R1 Z2 R2 Z3 R3 jwL3 求 Zx Rx jwLx 由平衡条件 Z1Z3 Z2Zx得 R1 R3 jwL3 R2 Rx jwLx Rx R1R3 R2 Lx L3R1 R2 例6 解 已知 Z 10 j50W Z1 400 j1000W 例7 解 已知 U 115V U1 55 4V U2 80V R1 32W f 50Hz求 线圈的电阻R2和电感L2 画相量图进行定性分析 例8 解 用相量图分析 例9 移相桥电路 当R2由0 时 解 当R2 0 q 180 当R2 q 0 8 8正弦电流电路中的功率 无源一端口网络吸收的功率 u i关联 1 瞬时功率 instantaneouspower 第一种分解方法 第二种分解方法 第一种分解方法 第二种分解方法 p有时为正 有时为负 p 0 电路吸收功率 p 0 电路发出功率 UIcos 1 cos2 t 为不可逆分量 UIsin sin2 t为可逆分量 瞬时功率实用意义不大 一般讨论所说的功率指一个周期平均值 2 平均功率 averagepower P u i 功率因数角 对无源网络 为其等效阻抗的阻抗角 cos 功率因数 P的单位 W 瓦 一般地 有0 cosj 1 X 0 j 0 感性 滞后功率因数 X 0 j 0 容性 超前功率因数 例 cosj 0 5 滞后 则j 60o 电压领先电流60o 平均功率实际上是电阻消耗的功率 亦称为有功功率 表示电路实际消耗的功率 它不仅与电压电流有效值有关 而且与cosj有关 这是交流和直流的很大区别 主要由于电压 电流存在相位差 4 视在功率 表观功率 S 反映电气设备的容量 3 无功功率 reactivepower Q 表示交换功率的最大值 单位 var 乏 Q 0 表示网络吸收无功功率 Q 0 表示网络发出无功功率 Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小 是由储能元件L C的性质决定的 5 R L C元件的有功功率和无功功率 PR UIcos UIcos0 UI I2R U2 RQR UIsin UIsin0 0 对电阻 u i同相 故Q 0 即电阻只吸收 消耗 功率 不发出功率 PL UIcos UIcos90 0QL UIsin UIsin90 UI 对电感 u领先i90 故PL 0 即电感不消耗功率 由于QL 0 故电感吸收无功功率 PC UIcos Uicos 90 0QC UIsin UIsin 90 UI 对电容 i领先u90 故PC 0 即电容不消耗功率 由于QC 0 故电容发出无功功率 6 电感 电容的无功补偿作用 当L发出功率时 C刚好吸收功率 则与外电路交换功率为pL pC 因此 L C的无功具有互相补偿的作用 7 交流电路功率的测量 单相功率表原理 电流线圈中通电流i1 i 电压线圈串一大电阻R R L 后 加上电压u 则电压线圈中的电流近似为i2 u R2 指针偏转角度 由M确定 与P成正比 由偏转角 校准后 即可测量平均功率P 使用功率表应注意 1 同名端 在负载u i关联方向下 电流i从电流线圈 号端流入 电压u正端接电压线圈 号端 此时P表示负载吸收的功率 2 量程 P的量程 U的量程 I的量程 cos 表的 测量时 P U I均不能超量程 已知 电动机PD 1000W U 220V f 50Hz C 30 F 求负载电路的功率因数 例 解 例 三表法测线圈参数 已知f 50Hz 且测得U 50V I 1A P 3W 解 8 9复功率 1 复功率 有功 无功 视在功率的关系 有功功率 P UIcosj单位 W 无功功率 P UIsinj单位 var 视在功率 S UI单位 VA 功率三角形 阻抗三角形 电压三角形 电压 电流的有功分量和无功分量 以感性负载为例 根据定义 发出无功 电抗元件吸收无功 在平均意义上不做功 反映了电源和负载之间交换能量的速率 无功的物理意义 复功率守恒定理 在正弦稳态下 任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零 即 此结论可用特勒根定理证明 一般情况下 已知如图 求各支路的复功率 例 解一 解二 2 功率因数提高 设备容量S 额定 向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定 P Scosj cosj 1 P S 75kW cosj 0 7 P 0 7S 52 5kW 一般用户 异步电机空载cosj 0 2 0 3满载cosj 0 7 0 85 日光灯cosj 0 45 0 6 1 设备不能充分利用 电流到了额定值 但功率容量还有 2 当输出相同的有功功率时 线路上电流大I P Ucosj 线路压降损耗大 功率因数低带来的问题 解决办法 并联电容 提高功率因数 改进自身设备 分析 补偿容量的确定 综合考虑 提高到适当值为宜 0 9左右 功率因数提高后 线路上电流减少 就可以带更多的负载 充分利用设备的能力 再从功率这个角度来看 并联C后 电