福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 函数与导数 新人教版.doc

福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座 函数与导数一、函数与导数的主要学习内容主要内容：函数图象与性质，导数等基础知识。切线、零点、恒成立、函数与方程、函数与不等式、函数与数列等。能力方面：构造函数能力；运算（估算）能力；画图、看图、用图能力；分类讨论；化归转化能力。思想方面：函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，分类与整合思想，整体思想，特殊与一般思想，极端化思想，建模思想。二、函数与导数的主要考点 近几年高考对函数与导数这部分的考查,在客观题中考查函数的概念、性质以及导数的几何意义等基础知识,而在解答题中通常综合考查函数的性质、导数在研究函数中的应用,有时会与不等式等综合考查。基础题以考查基本概念与运算为主,主要考查函数性质及图象,同时考查导数的基础知识, 高考考查函数单一性质的简单题目不多，大多是函数性质之间的综合考查。知识载体主要是三次函数、指数函数、对数函数及分式函数。综合题主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;(2)以函数为载体的实际应用题;(3)函数、导数与不等式等综合题。涉及到的主要思想方法有:数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想.函数与导数在高考试卷中选择题、填空题，解答题都有考题。近四年福建省高考（理科）数学“函数与导数”内容：年 份2009年福建高考2010年福建高考2011年福建高考2012年福建高考备注知识点题号分值题号分值题号分值题号分值集合、充要条件25951、21035年年考函数解析式、定义域、值域4、15975函数单调性5、20（1）915、20（1）910、57、20（1）9年年考函数奇偶性75函数周期性75参数取值范围14、20（2）918（1）415、20（2）93年函数零点45最值、极值20（1）518（2）51053年导数、切线问题20、2018132014年年考定积分45205565年年考函数对称性105。函数图象105函数新定义10、51541053年把关选择题105105105105年年考填空题15、41541543年解答题202020143年合 计共6题共38分共5题共34分共6题共38分共6题共38分说明： 函数奇偶性、函数周期性、函数图象结合在其它题目上考。 函数单调性、定积分年年考。 选择题的压轴题，函数问题年年出现。 解答题压轴题有三年是以函数与导数综合问题。 在简易题和中档题中，文理差异不大。在较难题中，文、理试题差异相对要大一些。在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为34-38分.一般为2个选择题、1个填空题,1个解答题。 函数的概念和性质 函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中思考1：在函数基础知识的考查中，主要考什么函数？1.（2012年福建文9）设,则的值为（b）a1b0cd 2.（2012年福建理7）设函数，则下列结论错误的是（ c ）a的值域为 b是偶函数c不是周期函数 d不是单调函数3.（2011年福建理10、文10）已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点a，b，c，给出以下判断： abc一定是钝角三角形 abc可能是直角三角形 abc可能是等腰三角形 abc不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是( b ) abcd4.（2010年福建理4、文7）函数的零点个数为 ( c )a.0 b.1 c.2 d.3说明：函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏下，多数以分段函数形式出现。. 指数函数、对数函数、幂函数 重点是指数函数的图象和性质，以及函数的应用问题幂函数应重点掌握五种常用幂函数的图象及性质对数函数重点考查对数函数的图象和性质及其应用文科与理科的差别主要体现在复合函数的求导（文科不要求）.函数自定义类型问题是考试形式和内容革新的试验田，题型不断更新。思考2：在近几年的高考试题中，对数函数、指数函数的底数是否含参数？1.（2010年福建理4、文7）函数的零点个数为 ( c )a.0 b.1 c.2 d.32.（2011年福建理10、文10）已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点a，b，c，给出以下判断： abc一定是钝角三角形 abc可能是直角三角形abc可能是等腰三角形 abc不可能是等腰三角形其中，正确的判断是( b )abcd3.（2009年福建理数14）.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.答：4.(2009年福建文数15)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_答：5.（2012年福建理20）已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。. 函数的综合应用 函数的应用历来是高考重视的考点，新高考更是把这个考点放到了一个重要的位置思考3：“自定义”类型问题如何解决？1.（2012年福建理15）对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_ _。答：2.（2012年福建理10）函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在1,3上具有性质，现给出如下命题：在上的图像时连续不断的；在上具有性质；若在处取得最大值1，则，；对任意，有。其中真命题的序号是（ d ）a b c d3.（2010年福建理数10） 对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（ 为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为的四组函数如下： ，； ，；，； ，.其中，曲线与存在“分渐近线”的是( c )a. b. c. d. 4. (2011年福建理数15)设是全体平面向量构成的集合，若映射:满足：对任意向量，以及任意，均有，则称映射具有性质.现给出如下映射：； 其中具有性质的映射的序号为 .（写出所有具有性质的映射的序号）. 答：说明：“自定义”类型问题解题的关键是在“理解题意”，可通过举反例，结合函数的图象等加以解决。思考4：“抽象函数、半抽象函数”问题如何应对？1.（2010年福建理15）已知定义域（0，）的函数满足：对任意恒有 成立，当时， 给出如下结论：对任意，有； 函数的值域为，存在，“函数”的充要条件是“存在使得”。其中所有正确结论的序号是 。解：由，可得，从而知除不正确外，其余均正确。2.（2009年福建理10）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是( d )a. b. c. d. 3.（2012年福建理10）函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在1,3上具有性质，现给出如下命题：在上的图像时连续不断的；在上具有性质；若在处取得最大值1，则，；对任意，有。其中真命题的序号是（ d ）a b c d4. （2010年福建理数10） 对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（ 为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为的四组函数如下： ，； ，；，； ，.其中，曲线与存在“分渐近线”的是( c )a. b. c. d. 说明：将抽象问题具体化，用数形结合法解决。函数的实际应用主要体现在结合实际问题得到相关的函数模型,然后利用函数的性质求解。一般与最优化问题联系,主要考查函数的单调性、最值、导数等知识，通常是解答题。思考5：函数的应用题主要考什么函数模型？ 1.（2010福建文21）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？()为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。注：()() 2.（2011年福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克() 求的值；() 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：()因为时，所以；()由()知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.说明：函数的应用题主要考的函数模型有“二次函数类、三次函数以及分式类型”。4.（2007年福建理19）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（1）求分公司一年的利润l（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润l最大，并求出l的最大值解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（） 令得或（不合题意，舍去） ， 在两侧的值由正变负所以（1）当即时， （2）当即时，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）对比：2011年福建理18题与2007年福建理19题。. 导数的概念及运算 利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，强调切点既在切线上又在曲线上定积分问题考基础知识。1.（2011福建理数5）等于（ c ）a. 1 b. c. d. 2.（2012福建理6）如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ c ）a b c d. 函数与导数的综合应用利用导数求函数的单调区间、极值、最值。导数为零的点不一定是极值点，导函数在零点两侧变号才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可。思考6：在函数与导数的综合题中参数问题？ （2012年福建文12）已知,且.现给出如下结论:;.其中正确结论的序号是 （c）abcd2.（2012年福建理20）已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。3（2012年福建文22）已知函数且在上的最大值为.(1)求函数的解析式; (2)判断函数在内的零点个数,并加以证明.4.（2010年福建理数20）（）已知函数,。（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线c与其在点处的切线交于另一点，曲线c与其在点处的切线交于另一点，线段（）对于一般的三次函数,请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。5.（2010年福建文数22）已知函数的图象在点处的切线方程为.()求实数,的值；()设是上的增函数. （i）求实数的最大值； (ii)当取最大值时，是否存在点q，使得过点q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点q的坐标；若不存在，说明理由.6.（2009年福建文数21） 已知函数且 （i）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；7.（2009年福建理数20）已知函数,且(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点m (,)，n(,)，p(), ,请仔细观察曲线在点p处的切线与线段mp的位置变化趋势，并解释以下问题：（i）若对任意的(, )，线段mp与曲线均有异于m,p的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论；（ii）若存在点q(n ,f(n), x n,使得线段pq与曲线有异于p、q的公共点，请直接写出的取值范围（不必给出求解过程）说明：在导数的综合题中参数主要是出现在“系数”位置。三、函数和导数专题的复习建议1.基本初等函数和函数的应用：函数概念的复习要到位而不越位，一般出现在客观题中，属于中、低档题，因此复习时不宜拓展。在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解决问题中的综合应用、函数性质在判断函数零点中的应用，指数函数、对数函数的图象和性质的应用，数形结合思想的应用。2.导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是系数中含有参数的函数的单调性。要注意把不等式问题、方程问