高中数学 几何概型2课件 新人教A版必修3.ppt

3 3几何概型 古典概型 特点 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 问题 图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向b区域时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 试验结果有无限多个 事实上 甲获胜的概率与字母b所在扇形区域的圆弧的长度有关 而与字母b所在区域的位置无关 因为转转盘时 指针指向圆弧上哪一点都是等可能的 不管这些区域是相邻 还是不相邻 甲获胜的概率是不变的 几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 几何概型的特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相等 在几何概型中 事件a的概率的计算公式如下 解 设a 等待的时间不多于10分钟 我们所关心的事件a恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 因此由几何概型的求概率的公式得即 等待的时间不超过10分钟 的概率为 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 1 有一杯1升的水 其中含有1个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 2 如右下图 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 分别计算它落到阴影部分的概率 练习 3 一张方桌的图案如图所示 将一颗豆子随机地扔到桌面上 假设豆子不落在线上 求下列事件的概率 1 豆子落在红色区域 2 豆子落在黄色区域 3 豆子落在绿色区域 4 豆子落在红色或绿色区域 5 豆子落在黄色或绿色区域 4 取一根长为3米的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大 例2假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件a 的概率是多少 解 以横坐标x表示报纸送到时间 以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部分 就表示父亲在离开家前能得到报纸 即时间a发生 所以 x y 可以看成平面中的点 试验的全部结果所构成的区域为 事件a表示父亲在离开家前能得到报纸 所构成的区域为 思考题 甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面 并约定先到者应等候另一个人一刻钟 到时即可离去 求两人能会面的概率 平面上画了一些彼此相距2a的平行线 把一枚半径r r a 的硬币任意掷在这平面上 则硬币不与任一条平行线相碰的概率是 抛阶砖 是国外游乐场的典型游戏之一 参与者只须将手上的 金币 设 金币 的半径为r 抛向离身边若干距离的阶砖平面上 抛出的 金币 若恰好落在任何一个阶砖 边长为a的正方形 的范围内 不与阶砖相连的线重叠 便可获奖 例1抛阶砖游戏 玩抛阶砖游戏的人 一般需换购代用 金币 来参加游戏 那么要问 参加者获奖的概率有多大 显然 金币 与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率 设阶砖每边长度为a 金币 直径为d a 若 金币 成功地落在阶砖上 其圆心必位于右图的绿色区域a内 问题化为 向平面区域s 面积为a2 随机投点 金币 中心 求该点落在区域a内的概率 s 于是成功抛中阶砖的概率 由此可见 当d接近a p接近于0 而当d接近0 p接近于1 0 d a 若d a 你还愿意玩这个游戏吗 成功抛中阶砖的概率 0 d a 若设r d a 则 p 1 r 2 虚线部分不适于计算抛阶砖游戏的概率 对于复杂的实际问题 解题的关键是要建立模型 找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 把问题转化为几何概率问题 利用几何概率公式求解 如何解答几何概型问题 首先要明确所解的问题是不是几何概型问题 要明确具有等可能性的几何元素是什么 在半径为1的圆内随机取一条弦 问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多