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文档简介

5 2内容回顾 变限积分的求导 机动目录上页下页返回结束 一般地 公式 设F x 是连续函数f x 的其一个原函数 则 微积分基本公式 设f x 是连续函数 则 二 定积分的分部积分法 不定积分 机动目录上页下页返回结束 一 定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 5 3定积分的换元法和 分部积分法 第五章 一 定积分的换元法 定理1 设函数 单值函数 满足 1 2 在 上 证 因此积分都存在 且它们的原函数也存在 是 的原函数 因此有 则 机动目录上页下页返回结束 则 所证等式两边被积函数都连续 说明 1 当a b时 或 时 定理1仍成立 2 必需注意换元必换限 原函数中的变量不必代回 3 换元公式也可反过来使用 即 或凑微分 凑微分不换限 机动目录上页下页返回结束 4 换元标准与对应的不定积分 一般情况下是一致的 例1 计算 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 0 例2 计算 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例3 计算 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 另解 例4 证 1 若 2 若 偶倍奇零 机动目录上页下页返回结束 例5 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 计算 注 在x 0点的定义为零 而非1 2 3 改变被积函数在有限个点处的函数值 不改变积分值 1 f x 2 在 1 4 上的x 2处不连续 2 类似的题目均可按上述格式做 机动目录上页下页返回结束 例6 设f x 在 0 1 上连续 证明 并计算 证 1 令 0 2 令 0 机动目录上页下页返回结束 所以 二 定积分的分部积分法 定理2 则 证 上 下限为x的范围 注 分部的标准与对应的不定积分一般情况下是一致的 例7 计算 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例8 计算 解 令 机动目录上页下页返回结束 原式 例9 证明 证 令 n为偶数 n为奇数 则 机动目录上页下页返回结束 转下页 由此得递推公式 于是 而 故所证结论成立 机动目录上页下页返回结束 n为偶数 n为奇数 机动目录上页下页返回结束 变限定积分问题 应充分注意变限定积分的问题 它在考研试题中出现的频率非常高 它涉及到极限 无穷小的阶 求导 单调性与极值 不等式等 1 设f x 连续 且f 0 0 求极限 解 令x t u 则 05年数二11分 机动目录上页下页返回结束 则原式 利用定积分中值定理 不能再用洛必达法则 介于0与x之间 机动目录上页下页返回结束 则原式 机动目录上页下页返回结束 2 提示 令 则 f x 连续 令 x 作业 P2531 4 10 16 3 7 4 9 10 习题课目录上页下页返回结束 备用题 求 解 分部积分 机动目录上页下页返回结束 1 设 机动目录上页下页返回结束 2 a 0 证明 证 令 左边 向右边靠拢 仅证 令 所以 3 求下列积分 且不易求出原函数时 负代换试 且不易求出原函数时 令x
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