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2013年复变函数模拟试题参考答案一、 将复数化为三角形式和指数形式。（6分）解 指数式为 ，三角式为 二、 计算（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。1.； 解 2.；解 3.Res解 令 ,则4.解 , 三，计算（6分）解 令，则在整个复平面上解析，于是 四已知，求解析函数。（8分）解 由于， ，所以在整个复平面上调和。解法一 用偏积分法 由于，所以 ，于是与从已知条件求出的结果比较，得，所以，故.解法二 用不定积分法， 故 .五，为（1）;（2）;（3）。（15分）解 显然，被积函数有两个奇点，（1）这时，两个奇点均在所包围的区域之外，因此在所包围的区域之内解析，所以由柯西-古萨定理 ；（2）这时，两个奇点均在所包围的区域之内，分别做以，为圆心，半径为，的正向圆周，由复合闭路定理；（3）这时，在所包围的区域之内只有一个奇点，在此区域内解析。做以为圆心，半径为的正向圆周，由柯西积分公式六。（8分）解 在所包围的区域之内只有一个奇点，且为2013阶，由高阶导数公式七求函数在处的泰勒展式，并求其收敛半径。（9分）解 由于 ，所以， 故收敛半径 。 （做题依据见教材第116页例4）八求函数在以及内的洛朗展式。（12分）解 在内， ，所以在内， ，所以九。（10分）解 ，将在圆环域上展开成洛朗级数 于是 ，故十。（6分）解
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