哈密顿力学.ppt

4哈密顿动力学 1正则方程2守恒原理3泊松括号和泊松定理4刘维定理5哈密顿原理6正则变换7哈密顿 雅可比原理 拉格朗日动力学 哈密顿动力学 从量纲来分析 能量 时间 作用量 1 哈密顿正则方程 完整 保守的系统 动力学方程为拉格朗日方程 是广义坐标的二阶微分方程 可改写为 广义动量定义为 2s个一阶微分方程作为系统的动力学方程 用广义坐标和广义动量来代替广义坐标和广义速度 一 正则方程 从广义动量的定义 解出广义速度 系统的动力学方程 但形式由广义坐标的选取来确定 哈密顿正则方程 二 特性函数 三 勒让德变换 两个自变量的函数 四个变量之间的两个方程 其中的2个是独立的 以u y为独立变量 则 构造一个新的函数 因此 旧独立变量 旧独立变量 新独立变量 不要的原独立变量 新函数 新独立变量 新的不独立变量 原不独立变量 新函数 新独立变量 旧函数 保留的独立变量 保留的不独立变量 比较 将f换成g后 第一式 u与x对易 第二式 加负号 这种由一组独立变量 x y 变为另一组独立变量 u y 的变换成为勒让德变换 勒让德变换指出 独立变量改变 相应的函数本身随之改变 这样不独立变量仍可以用独立变量的偏导数表示 由勒让德变换给出正则方程 拉格朗日变量 哈密顿变量 新函数 新的独立变量 不要的原独立变量 旧函数 根据前面我们得到的勒让德变换有 这些勒让德变换只是数学内容 考虑拉格朗日方程 则有 哈密顿量H Ep Ek 动量定义 牛顿第二定律 p 广义动量x 广义位移 即 哈密顿正则方程 一维弹簧振子的运动 哈密顿变量 哈密顿正则方程 哈密顿函数 拉格朗日变量 哈密顿变量 对比 可得 考虑拉格朗日方程 因此有 2 守恒原理 一 能量积分 哈密顿量 对时间求微商 考虑正则方程 也就是说 哈密顿函数H中不显含时间t 则有 表示一积分常数 广义能量守恒 由拉格朗日动力学可知 稳定约束 体系机械能守恒 不稳定约束 广义能量守恒 二 循环积分 可遗坐标 若哈密顿函数H中不显含某一广义坐标 则由正则方程 立即有 也就是 这就是哈密顿动力学中的广义动量守恒原理 拉格朗日动力学 拉格朗日函数中不显含某一广义坐标 哈密顿动力学 哈密顿函数中不显含某一广义坐标 广义动量守恒原理的条件 这两个条件实际上是等价的 即在L和H中 若其一不含广义坐标则另一必定也不含有 可遗坐标对应的广义动量守恒 不含于L或H的广义坐标称为可遗坐标 若体系某一广义动量守恒 给问题的求解带来方便 这在拉格朗日动力学和哈密顿动力学中是相同的 但在哈密顿动力学中更适合于处理可遗坐标 拉格朗日函数中虽然可以含有可遗坐标 但是可以含有相应的广义速度 问题仍然是s个自由度 而哈密顿函数中 不仅不含有可遗坐标 而相应的广义动量是个常数 因此这一自由度相当于已经解出 只要求解其他自由度即可 可见在哈密顿动力学中可遗坐标才是正真的可以忽略 想一想 为什么不讨论L中不显含 或H中不显含的问题 例1质量为M的楔子置于光滑的水平桌面上 楔子底面也是光滑的 斜面却是粗糙的 质量为m 半径为R的圆柱体沿着楔子斜面无滑动地滚下 求解楔子和圆柱体的运动 解楔子可在水平方向运动 取桌面上的固定点O为原点 把楔子的质心 其实不一定要质心 改为楔子的任一点也行 相对于O点的水平坐标记作X 圆柱体可在楔子的斜面上滚动 把圆柱轴相对于楔子斜面上端并沿斜边计算的坐标记作q 把圆柱某根半径与竖直向下之间的夹角记作 无滑动这个约束条件可写为 这个运动约束可以积分为 故 这是一个完整约束 q和 不独立 这个系统有两个自由度 可以选x和 是两个独立的广义坐标 主动力都是重力 圆柱体的势能 楔子的动能为 圆柱的动能包括质心的平动动能和绕 质心转动的转动动能 所以 按定义 广义动量 所以得到广义速度 于是 系统的哈密顿函数 哈密顿函数不含有广义坐标X 所以X是循环坐标 相应的广义动量守恒 此时对 的正则方程为 所以 这是匀加速转动 积分一次 简单推导 可得 例2 写出粒子在中心势场V a r中哈密顿函数和正则方程 解 自由度是2 广义坐标r 广义动量 中心势场粒子的能量守恒 因此粒子的哈密顿函数为 可以解得正则方程 该题还可解得 粒子的径向运动方程 角动量守恒定律 例3 分别用笛卡儿坐标 柱面坐标和球面坐标写出一个自由质点在势场V 中的哈密顿函数H 解 体系为质点 自由度数s 3 1 在笛卡儿坐标系中 取x y z为广义坐标 则拉格朗日函数L为 2 在柱面坐标系中 L T V 3 在球面坐标系中 V V r V r 例4 求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数 设两原子之间相互作用的弹性力为F k r r0 其中r为两原子间距离 r0为两原子处在平衡时的距离 解 为了求出拉格朗日函数 应先求分子的动能 T Tc T 两原子相对质心的动能 质心动能 把两原子相对质心的动能转换为m2相对于m1的运动 L T V 例5 一质量为m的自由质点 受力为位矢 k为大于零的常数 求在直角坐标系中质点的运动微分方程 解 取x y z为广义坐标 动能为 例6 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律 设电子的电量为 e 原子核带电为Ze Z为原子序数 是循环坐标 p C 可见电子的运动与无关 可令 则 在拉格朗日动力学中 从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程 在哈密顿动力学中 必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数 才可写出动力学方程即哈密顿正则方程 从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一条路径达到拉格朗日方程 所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便 哈密顿动力学的优点之一是便于量子化 另一个优点在变量的变换中比较自由 拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义动量并不对等 只能对广义坐标进行变换 而广义速度也随之而变 哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的 不仅可以对广义坐标进行变换 而且可以坐标和动量一起变换 这个到下面正则变换时进一步分析 3 泊松括号和泊松定理 哈密顿正则方程 对于循环坐标 不显含时间t 则有 称为运动积分 当体系运动时 如果函数则称其为正则方程的一个运动积分 若都是正则方程的运动积分 则这些积分的任意函数任然是正则方程的积分 若找到了2s个独立的运动积分 则由 可以解出 即为正则方程的解 如果函数 是正则变量q p 和时间的函数 则它对时间的导数为 其中 H 叫做泊松括号 一 泊松括号的定义 如果函数 在运动中保持为常数 则 如果函数 也是正则变量和时间的函数 泊松括号 定义为 二 泊松括号的性质 雅可比恒等式 例1计算泊松括号 Ly Lz Lz Lx 和 Lx Ly Lx L2 Ly L2 和 Lz L2 这里L是质点的角动量 解 这里广义坐标q1 x q2 y q3 z 广义动量p1 px p2 py p3 pz 先计算泊松括号 Ly Lz 即 同理 同理 三 泊松定理 如果函数 都是相空间中的运动积分 则它们的组合 也是相空间中的运动积分 证明 显然 也是运动常数 还可以通过类似的关系得到更多的运动常数 1 利用泊松括号表示正则方程 即正则方程可以表示为 克朗内克符号 2 利用泊松括号表示正则变量 是一组正则变量 四 量子力学中的泊松括号 在经典力学中 两个力学量同时具有确定的值并不成为问题 可是 在量子力学中这却是个问题 力学量在量子力学中是用算符或矩阵表示的 两个算符或矩阵的乘积一般是与这两个算符或矩阵的先后次序有关的 两个力学量X和Y是否可以同时具有确定的值就看它们的量子泊松括号 是否为零 如果两个力学量的经典泊松括号为零 则它们的量子松括号也为零 在量个力学中它们是可以同时确定的 比如 任意两个广义坐标可以同时确定 任意两个广义动量也可以同时确定 一个广义坐标和对应的广义动量不能同时确定 一个广义坐标和非对应的广义动量可以同时确定 又比如 角动量的任意两个分量不能同时确定 但角动量的一个分量和角动量的平方可以同时确定 4 刘维定理 分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学简单 但是对于大数目系统 往往牛顿力学无法求解 而运用哈密顿正则方程却容易的多 哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统的运动 对一个自由度问题 某一时刻的状态用x和p值表示 即xp平面上的一个点表示 随着时间推移 状态不断变化 它在xp平面上刻画出一条曲线 多自由度的情况也类似 对于s个自由度的力学系统 我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成2s维的空间叫作相空间 该力学系统在某一时刻的状况也可用相空间的一个点表示 随着时间的推移 相空间中的代表点给出的曲线形成相轨道 换句话说 相轨道给出力学系统随时间的演变过程 原则上 给定力学系统的初始状态 该系统的运动就由动力学方程完全确定 即以相空间中某一点为出发点的相轨道 由动力学方程所完全决定 但是 如果系统的自由度数比较大 力学系统比较复杂 我们不能断定相空间中究竟哪一点准确地代表系统的状态 怎么办 替代的办法 我们只能考虑各种可能的代表点 其中每一点都代表系统的一种可能状态 实质上 这是考虑处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统 这些性质完全相同的力学系统构成一个系综 相空间中每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态 代表点的相轨道对应于该系统的演变 各种可能的代表点则对应于系综中所有力学系统的状况 各种可能的相轨道则对应于系综的演变 这就是统计力学的起点 刘维定理 保守力学体系在相空间中代表点的密度 在运动过程中保持不变 物理含义 同一力学体系在不同的初始状态所构成的不同代表点 它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道运动 当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域时 在新的区域 代表点的密度 等于在出发区域中的密度 设体积元为 其中代表点的数目为dN 代表点的密度为 则 一般密度 随时随地不同 所以从 知 刘维定理说明在体系中 刘维定理证明 假定初始时 体元位置为 经历时间dt 这个固定体元中代表点的数目变化 另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元的边界的数目来计算在时间dt中代表点的数目变化 先考虑通过一对曲面q q dq 进出d 代表点的增加 把体元d 表达式改写为 在dt时间内通过q 进入d 的代表点必定位于一个柱体内 柱体底为dA 高为 为相空间中代表点垂直于曲面q 的速度分量 所以在dt时间内通过q 进入d 的代表点数为 同理 在dt时间内通过曲面q dq 离开d 代表点的数目为 两者相减 得通过曲面q 和q dq 进入d 代表点的净数目为 同理 得通过曲面p 和p dp 进入d 代表点的净数目为 把上面两式相加 并对 求和 则得在dt时间内由于代表点的运动 穿过d 的边界而进入其中的代表点的净数目 显然 所以 利用正则方程 得 证明完毕 刘维定理是统计力学的基本的定理 它是2s维的相空间中的定理 在普通空间或s维的位形空间 把s个广义坐标作为直角坐标构成的空间 中并不存在类似的定理 因此 在统计力学讨论系综时需要运用哈密顿动力学而不用拉格朗日动力学 刘维定理的另外表示 5 哈密顿原理 力学原理 微分原理 牛顿动力学方程 拉格朗日动力学方程 哈密顿动力学方程 变分原理 积分形式 不涉及广义坐标的选取 有限自由度的力学体系 无限自由度的力学体系 非力学体系 动力学问题 一 变分法初步 1 泛函 最速落径问题 质点沿光滑轨道自A点自由下滑到B点 所需时间最短的路径怎样 总时间取决于轨道的形状 即函数关系 而不是y的值 一个变数J的值取决于函数关系 就叫作函数的泛函 记做 2 变分问题 考虑最速落径问题 选取适当的轨道使质点从A到B自由下滑的时间最短 这就是泛函 的极值问题 泛函的极值问题叫做变分问题 3 欧拉方程 设泛函J只依赖于单个自变量x 单个函数y x 及其导数 即 函数F对于x y y 都是二次连续可导 所以y的二阶导数是连续的 设函数关系y x 稍有变动 称为函数y x 的变分 则泛函的值也随之改变 其增量为 由于 这样 在简单的变分问题中 变分在端点保持为零 即 于是变分为零的要求是 上式对任意均成立 所以 就是泛函取极值的必要条件 叫做变分问题的欧拉方程 若泛函J不显含x 则欧拉方程有初积分 证明 泛函取极值的必要条件 欧拉方程 拉格朗日方程 二 哈密顿原理 也就是说 拉格朗日方程是下列变分问题的欧拉方程 力学系统的动力学方程归结为一个变分原理 力学系统从时刻t1到时刻t2的一切可能运动之中 使作用量 取极值的运动才是实际发生的运动 哈密顿原理 位形空间 以s个广义坐标为直角坐标的空间 位形空间中的一个点可以表示体系任一时刻的位形 随着时间的推移 力学系统的位形方式演变 位形空间中的代表点描绘出相应的曲线 在一切可能的曲线中 使作用量取极值的那一条曲线就是真实的运动 位形空间中的哈密顿原理 做变换 可得相空间中的哈密顿原理 在相空间中 有 力学系统的始末位形是确定的 则 因此有 也就是 正则方程 6 正则变换 一 正则变换的条件 点变换 广义坐标之间的变换 例如 有心力问题中 直角坐标 极坐标 极角是循环坐标 哈密顿动力学中可以考虑更广泛的变换 正则变换 变换后的动力学方程仍保持正则方程的形式 正则变量 共轭变量 变换前 变换后 都必须满足正则方程 也就是说变分原理 二者等价 分析变分原理 给被积函数加上某个函数对时间的全导数 则增添的部分为 若认为力学系统在位形空间或相空间中的