数值分析实验二：代数插值.doc

毕节学院实验报告实验名称： 代数插值 实验报告序号： 2 组 别姓 名同组实验者实验项目代数插值实验日期2012年 9月 26 日实验类别1、验证性实验或基础性实验； 2、综合性实验 3、设计性实验； 4、创新性实验和研究性实验；教师评语实验成绩指导教师（签名）赖志柱年 月 日实验目的：进一步熟练掌握代数插值法，提高编程能力和解决插值问题的实践技能，观察代数插值的龙格现象。实验任务与要求：（1）对函数在上进行等距插值编程实现，要求画出该函数图像和插值函数图像、节点个数依次从3到11进行取值、简要分析它们的误差，必要时可以输出相关数据表格进行对比分析。（2）选择对数函数或根式函数进行插值研究，要求分别编程实现Lagrange插值、Newton插值和分段线性插值并画图对比分析。小组分工合作说明：实验过程及内容：第一题：分段线性插值适用于计算简单、光滑性要求不高的插值问题，且其整体逼近的效果较好.从几何意义上看，分段线性插值就是用折线近似代替曲线.设在区间a,b上取n+1个点 函数在上述节点处的函数值为 于是得到n+1个点连接相邻两点和 ，得一折线函数，若满足：(1)在a,b上连续;(2) ;(3)在每个小区间上是线性函数,则称折线函数为分段线性插值函数，所以第一题我们用分段线性插值的方法编程过程：1.原函数图象: function y=fd1(x)x=-5:5y=1./(1+x.2);plot(x,y)2. 插值效果比较函数,选取插值节点数为奇数. 上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像.function v=fd22(x,y,u)delta=diff(y)./diff(x);n=length(x);k=ones(size(u);for j=2:n-1k(x(j)=u)=j;ends=u-x(k);v=y(k)+s.*delta(k);clearcloset=-5:0.01:5;a=k g r c m;for i=1:5n=2*i+1;x=linspace(-5,5,n);y=fd1(x); p=fd22(x,y,t);p=p; y1=fd1(t);y1=y1; e=p-y1; subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i);hold on; subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);hold on;end subplot(2,1,1);legend(n=3,n=5,n=7,n=9,n=11)subplot(2,1,2);legend(n=3,n=5,n=7,n=9,n=11)subplot(2,1,1);fplot(fd1,-5 5,k); hold off3.结果分析：不同插值节点数所得的分段线性插值函数，在节点处与原函数的函数值一定相同,所得的分段线性插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方，与原函数的误差比较大.由误差平方和e，插值节点个数越多，e有减小的趋势，最后趋于0.只考虑奇数或偶数个节点，则随节点数增加e严格减小,随机生成的节点不如等距节点使插值效果好.第二题：1. （1）Lagrange插值clearclcn=10; lb=0; ub=10; step=0.01;x0=lb:step:ub;y0=log(x0);plot(x0,y0,r-);hold onfor i=1:n+1 xi(i)=lb+(ub-lb)*(i-1)/n; yi(i)=log(xi(i); endcount=1;for x=lb:step:ub fl=0; for k=1:n+1 up=1; dn=1; for i=1:n+1 if k=i up=up*(x-xi(i); dn=dn*(xi(k)-xi(i); end end fl=fl+yi(k)*up/dn; end pn(count)=fl; fi(count)=log(x); count=count+1;end（2）Newton插值x=a:(b-a)/n:b; y=log(x);plot(x,y,b) hold onz=a:(b-a)/(2*n):b;n=length(x);for j=2:n for i=n:-1:j y(i)=(y(i)-y(i-1)/(x(i)-x(i-j+1); endendu=y(n);m=length(z);for j=1:m for i=n-1:-1:1 u=y(i)+u*(z(j)-x(i); v(j)=u; end u=y(n);endplot(z,v,*) （2）分段线性插function y=fd1(x)y=log(x)function yi=fd2(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n=merror(X和Y的长度必须相同);return;endfor k=1:n-1if abs(x(k)-x(k+1)eps error(数据有误);return;endif x(k)=xi&xi=x(k+1) temp=x(k)-x(k+1);yi=(xi-x(k+1)/temp*y(k)+(xi-x(k)/(-temp)*y(k+1)return;endenda=1;b=5;n=3;if n=0error(你输入的数据有误 );break;endh=(b-a)/(n-1); x=a:h:b;y=fd1(x);xx=a:0.1:b; yyi=fd1(xx);m1=length(xx);z=zeros(1,m1);for k1=1:m1z(k1)=fd2(x,y,xx(k1);endw=z-yyi;plot(x,y,o,xx,yyi,-,x,y,k:);xlabel(x);ylabel(y);title(原函数（实线）-插值函数（虚线）);hold on2. （1）Lagrange插值clearclcn=10; lb=0; ub=10; step=0.01;x0=lb:step:ub;y0=x0.(1/2);plot(x0,y0,r-);hold onfor i=1:n+1 xi(i)=lb+(ub-lb)*(i-1)/n; yi(i)=(xi(i).(1/2); endcount=1;for x=lb:step:ub fl=0; for k=1:n+1 up=1; dn=1; for i=1:n+1 if k=i up=up*(x-xi(i); dn=dn*(xi(k)-xi(i); end end fl=fl+yi(k)*up/dn; end pn(count)=fl; fi(count)=x.(1/2); count=count+1;end（2）Newton插值x=a:(b-a)/n:b; y=x.(1/2);plot(x,y,b) hold onz=a:(b-a)/(2*n):b;n=length(x);for j=2:n for i=n:-1:j y(i)=(y(i)-y(i-1)/(x(i)-x(i-j+1); endendu=y(n);m=length(z);for j=1:m for i=n-1:-1:1 u=y(i)+u*(z(j)-x(i); v(j)=u; end u=y(n);endplot(z,v,*) （3）分段线性插function y=fd1(x)y=x.(1/2)function yi=fd2(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n=merror(X和Y的长度必须相同);return;endfor k=1:n-1if abs(x(k)-x(k+1)eps error(数据有误);return;endif x(k)=xi&xi=x(k+1) temp=x(k)-x(k+1);yi=(xi-x(k+1)/temp*y(k)+(xi-x(k)/(-temp)*y(k+1)return;endenda=0;b=5;n=3;if n=0error(你输入的数据有误);break;endh=(b-a)/(n-1); x=a:h:b;y=fd1(x)