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振动的数学基础 1振动问题的微分方程2常系数线性微分方程的解3特殊函数4权函数5拉普拉斯变换6传递函数7频响函数 1振动问题的微分方程 如图所示具有粘性阻尼的弹簧质量系统作用有一简谐激振力以平衡位置O为坐标原点 x轴铅直向下为正 则物块的运动 常 微分方程为若令上式可改写为这是一个二阶 常系数 线性 非齐次 常微分方程 若没有外激励 则为二阶常系数线性齐次常微分方程 若考虑弹簧力或阻尼的非线性 则为二阶常系数非线性常微分方程 一般地说 系统有几个自由度 就有几个运动微分方程 对于弹性体的振动 由于每一个点的振动位移 速度和加速度都不仅是时间的函数还是位置坐标的函数 所以其控制方程为偏微分方程 推导并讨论单摆的运动微分方程 根据动量矩定理得 1只对微幅振动 方有 亦即是线性的 否则是非线性的 2只对摆绳或摆杆的长度不变时 才是常系数的 否则是变系数的 这样的系统称为参数激励系统 如第一讲所述运动员荡秋千的例子 2常系数线性微分方程的解 线性非齐次常微分方程的解相应的齐次常微分方程的通解和非齐次常微分方程的特解组成 振动系统运动微分方程的解描述了振动位移 速度 加速度 随时间的变化规律 振动系统运动微分方程的解中一定含有积分常数 它们由系统的初试条件确定 3特殊函数 1 单位脉冲函数 亦称 函数 定义如下 只有数学意义 在物理上是不可实现的 2 延时单位脉冲函数 函数具有以下性质 这一性质称为函数的抽样特性 这表明 函数的谱密度函数在所有频率上都是等强度的 函数的傅立叶变换 函数的傅立叶变换 3 矩形窗函数 其傅立叶变换为 4单位脉冲响应函数 如前所述 函数的实质是在时间间隔内面积为 的矩形脉冲 在的极限情况 不难看出 若时间的单位是秒 s 则函数的单位是 用函数表示作用在极短时间内的冲击力非常方便 对单位冲量 则冲击力为其作用于单自由度有阻尼振动系统上时 其振动微分方程为 单位脉冲激励的效应是使系统获得初始速度 此后系统即作自由振动 并由下式决定称为单位脉冲响应函数 习惯上用来表示 即若此单位冲量作用在t 0时刻 则 其中 以后将证明 线性系统对任意激振力的响应都可以用单位脉冲函数响应与激励的卷积 一种积分 表示 单位脉冲响应函数包含了系统的所有动特性参数 它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式 5拉普拉斯变换 已知函数 下列积分所确定的函数称为的拉普拉斯变换 其中S是复数 即 拉普拉斯逆变换 Laplace变换的性质 设和的拉普拉斯变换分别为和 则有1 2 3 其中称为与的卷积 拉普拉斯变换对 见附录 6传递函数 对常微分方程两边分别作拉氏变换由此得 若初始条件为零 则即响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之间具有一个简单的关系 若进一步写成则称为系统的传递函数 即系统的传递函数等于输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比 若初试条件不为零 中将包含初试条件引起的响应 但由于阻尼的存在 这一响应将很快衰减掉 中只剩下稳态响应 所以初试条件不为零时 传递函数的形式不变 系统的传递函数完全取决于系统本身 与外部激励没有关系 它说明无论激励 输入 怎样变化 尽管响应也必然发生相应的变化但它们的拉氏变换之比却是不变的 这个不变的值显然是系统固有特性的反映 既然系统的传递函数是唯一的 所以对输入进行拉氏变换后 可以借助于其求得输出的拉氏变换 对输出的拉氏变换再进行逆变换 就可得到系统的时域响应 利用Laplace变换解微分方程 贾老师例 7频率响应函数 在传递函数中令 则可得系统的频响函数与传递函数一样 初始条件不为零时 系统频响函数的形式不变 如将H j 的实部和虚部分开 有H j P jQ 其中 P 和Q 都是 的实函数 以频率 为横坐标 以P 和Q 为纵坐标所绘的图形分别称为系统的实频特性图与虚频特性图 又若将H j 写成H j A ej 其中分别称为幅频特性和相频特性 用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验来求得 依次用不同频率 i的简谐信号去激励被测系统 同时测出激励和系统的稳态输出的幅值Xi Yi和相位差 这样对于某个 i 便有了一组Yi Xi Ai和 全部的Ai i和 i 1 2 3 便可表达系统的频率响应函数 尽管频率响应函数是对简谐激励而言的 但如前所述 任何信号都可分解成简谐信号的叠加 因而在任何复杂信号输人下 系统频率特性也是适用的 这时 幅频 相频特性分别表征系统