13章7-8莫尔积分.ppt

一 推导 13 7单位载荷法 莫尔积分 方式一 先加 再加 方式二 同时加 同理 二 莫尔积分的应用 1 计算梁发生弯曲变形的位移 2 计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移 3 计算圆轴发生扭转变形的位移 4 计算杆发生轴向拉压变形的位移 5 计算桁架节点位移 6 计算结构组合变形的位移 三 莫尔积分的应用范围 线弹性结构 四 的符号的含义 1 所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同 2 所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反 五 用莫尔积分计算的步骤 1 写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程 2 将结构单独取出 在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷 3 写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程 4 将同一段的同一种内力方程相乘积分 注意 在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时 必须保证分段相同 并且每段自变量的基准点相同 考虑 求C点铅垂位移yc 思考 在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时 应分几段 所以 其中 为单位载荷引起的弯矩 六 莫尔积分的例题 1 计算梁发生弯曲变形的位移 求 C点铅垂方向的位移和B点转角 莫尔积分的应用范围 线弹性结构 2 列原载荷引起的内力方程 3 施加单位载荷 4 列单位载荷引起的内力方程 5 同一段的同一种内力相乘积分 解 求1 求约束反力 为此取AB为研究对象 的正 负号的含义 1 所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同 2 所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反 求 例2 试求P力作用下 A点的竖直位移 分析 因为力与轴线位于同一平面 所以在P力作用下 只考虑弯曲变形 即只考虑弯矩 解 2 计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移 1 列原载荷引起的内力方程 2 施加单位载荷 列单位载荷引起的内力方程 3 由莫尔积分求 3 计算桁架节点位移 解 1 列原载荷引起的内力方程 例3 图示简单桁架 各杆长度均为 且EA相同 试求B D两节点的相对位移 2 施加单位载荷 3 列单位载荷引起的内力方程 4 由莫尔积分求 4 计算结构组合变形的位移 例4 图示刚架 各段刚度已标出 试A点的铅垂位移与B点的转角 解 1 列原载荷引起的内力方程 2 列单位载荷引起的内力方程 设 3 同一段的同一种内力相乘积分 若横截面是边长为b的正方形 时 上述比值为 例5 轴线为半圆形平面曲杆如图 a 所示 作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面 求P力作用点的垂直位移 1 列原载荷引起的内力方程 2 施加单位载荷 4 积分计算位移 3 列单位载荷引起的内力方程 用莫尔积分计算的步骤 1 写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程 2 将结构单独取出 在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷 3 写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程 4 将同一段的同一种内力方程相乘积分 注意 在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时 必须保证分段相同 并且每段自变量的基准点相同 求C点铅垂位移 思考 在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时 应分几段 一 推导 若EI为常量 则公式可变形为 13 8计算莫尔积分的图乘法 1 二次抛物线 2 二次抛物线 为了计算方便 列出了比较常见图形的面积和形心坐标 三 应用图乘法的注意事项 原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧 为正 原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧 为负 3 若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化 则图乘时也要分段 5 图乘时 只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘 注 综合来讲 决定图乘分段的因素有三个 的折点 图是否需要划分为若干简单图形 2 EI是否阶梯变化 例5 求 解 1 画原载荷引起的内力图 3 画单位载荷引起的内力图 4 图乘方法 1 5 图乘方法 2 M图 图 注 当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时 可以是单位载荷引起内力图的面积 可以是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标 二 图乘法的应用 1 计算梁发生弯曲变形的位移 2 计算圆轴发生扭转变形的位移 3 计算杆发生轴向拉压变形的位移 4 计算结构组合变形的位移 求 C点铅垂方向的位移和B点转角 解 1 画原载荷引起的内力图 3 画单位载荷引起的内力图 4 图乘 例2 用图乘法求 解 1 画原载荷引起的内力图 3 画单位载荷引起的内力图 4 图乘 图1 图2 6 画单位载荷引起的内力图 7 图乘 求 B点铅垂方向的位移 解 1 画原载荷引起的内力图 3 画单位载荷引起的内力图 4 图乘 求 1 A端的铅垂位移 2 A端绕BC轴线 X轴 的转角 X 3 画单位载荷引起的内力图 2 求A端的铅垂位移施加单位载荷 解求 1 画原载荷引起的内力图 4 图乘 2 求A点绕BC轴转角施加单位载荷 3 画单位载荷引起的内力图 4 图乘 解求 1 画原载荷引起的内力图 例3 轴线为半圆形平面曲杆如图所示 作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面 求P力作用点的垂直位移 1 列原载荷引起的内力方程 2 施加单位载荷 4 积分计算位移 3 列单位载荷引起的内力方程