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-导数与三角函数的结合 1.（导数与三角函数结合）已知函数，其中为参数，且.（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间（2a1,a）内都是增函数，求实数a的取值范围.【分析】定义域上的可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在两侧异号.【解析】（1）当时，则函数在（，）内是增函数，故无极值.（2）,令，得.由及（1）,只考虑的情况.当x变化时，的符号及的变化情况如下表：（，0）000极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使0,必有，可得，所以.（3）由（2）知，函数在区间（，0）与内都是增函数.由题设，函数在（2a1,a）内都是增函数，则a需满足不等式组，由（2）,参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有.综上，解得a0或，所以a的取值范围是（，0，1）. 2.已知函数f(x)axsinx(aR)，且在0，上的最大值为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，)内的零点个数，并加以证明【思路点拨】(1)分a0、a0和a0三种情况求函数f(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数【规范解答】(1)由已知得f(x)a(sin xxcosx)，对于任意x(0，)，有sin xxcosx0.当a0时，f(x)，不合题意当a0，x(0，)时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，从而f(x)在(0，)内单调递增，又f(x)在0，上的图象是连续不断的，故f(x)在0，上的最大值为f()，即a，解得a1.综上所述，函数f(x)的解析式f(x)xsinx.(2)f(x)在(0，)内有且只有两个零点证明如下：由(1)知，f(x)xsinx，从而有f(0)0.又f(x)在0，上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，)内至少存在一个零点又由(1)知f(x)在0，上单调递增，故f(x)在(0，)内有且仅有一个零点当x，时，令g(x)f(x)sin xxcosx.由g()10，g()0，且g(x)在，上的图象是连续不断的，故存在m(，)，使得g(m)0.由g(x)2cos xxsinx，知x(，)时，有g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在(，m)内单调递增，故当x，m时，f(x)f()0，故f(x)在，m上无零点；当x(m，)时，有g(x)g(m)0，即f(x)0，f()0，且f(x)在m，上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，)内有且仅有一个零点综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点【下
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