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数学分析下册 第十七章 多元函数的微分学 3 方向导数与梯度教学目的 掌握方向导数与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度教学要求 掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算教学建议 (1) 适当介绍引入方向导数和梯度的意义（物理意义和计算方法上的意义）(2) 对学生强调方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系教学程序一、 方向导数：（一）、方向导数的定义：定义 设三元函数在点的某邻域内有定义 . 为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点 , 以表示与两点间的距离 . 若极限 存在 , 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数 , 记为 或 、.对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 . 易见 、 和 是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1 =. 求在点处沿方向的方向导数,其中 （1） 为方向; （2） 为从点到点的方向.解 （1） 为方向的射线为. 即 . , .因此 , （2） 从点到点的方向的方向数为方向的射线为 . , ;.因此 , （二）、 方向导数的计算:定理: 若函数在点可微 , 则在点处沿任一方向的方向导数都存在 , 且 + +,其中、和为的方向余弦. ( 证 ) 对二元函数, +, 其中和是的方向角.注: 由 + + =(, , ( , ),可见 , 为向量, , 在方向上的投影. 例2 ( 上述例1 ) 解 （1） 的方向余弦为=, =, =. =1 , = , =.因此 , = + +=. （2） 的方向余弦为 =, =, = .因此 , =.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .二、 梯度 ( 陡度 ):（一）、梯度的定义: , , . |= .易见 , 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.（二）、 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 |.其中是与夹角. 可见时取最大值 , 在的反方向取最小值 .（三）、梯度的运算:1 . 2 (+) = +. 3 () = +. 4 . 5 () = .证: 4 , . .总结：的方向表示数量场在分
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