离散型随机变量的概率分布(1).ppt

离散型随机变量是指只能取有限个或可列个数值的随机变量 要掌握离散型随机变量X的分布规律或概率分布 就必须且只需知道X的所有可能取值以及取每一个可能值的概率 2 2离散型随机变量的概率分布 设离散型 而X取各个可能值的概率 即概率分布 为 则称此式为离散型随机变量X的分布律 分布律也可用表格形式或矩阵形式表示如下 随机变量X的所有可能取值为 由概率定义不难知道 pk k 1 2 是某离散型随机变量X的分布律 离散型随机变量的概率分布完全由反映 分布律 袋中有2个白球和3个黑球 每次从袋中任取1个球 直至取得白球为止 若每次取出的黑球不再放回去 求取球次数X的分布律 例1 解因为每次取出的黑球不再放回去 所以X的所有可能取值是1 2 3 4 故由古典概型易知 故X的分布律为 袋中有2个白球和3个黑球 每次从袋中任取1个球 直至取得白球为止 若每次取出的黑球仍放回去 求取球次数X的分布律 例2 解因为取出的黑球仍放回去 所以X的所有可能取值是1 2 故由相互独立的乘法定理可知 故X的分布律为 几何数列 几何分布 设一批产品共有N个 其中有M个是次品 从这批产品中任意抽取n个 求取出的n个产品中次品数X的分布律 例3 解这是一章讨论过的抽球问题 所求分布律为 这种分布称为超几何分布 几何分布的一般形式为 1 0 1分布 设随机变量X只可能取a与b两个值 不失一般性 总可以取a 0 b 1 其概率分别为 1 p 和p 则X的概率分布为 称该分布为0 1分布或两点分布 记作X B 1 p 或 三种重要的离散型随机变量的概率分布 抛掷均匀硬币 令 则随机变量X服从0 1分布 应用与背景 两点分布是最简单的分布 任何一个只有两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男是女 明天是否下雨 种籽是否发芽等 都属于0 1分布 n重伯努利 Bernoulli 试验有着广泛的应用 将试验E重复进行n次 若各次试验的结果互不影响 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果 则称这n次试验是相互独立的 2 二项分布 设试验E只有两个可能结果 事件A或者发生 或者不发生 将试验E重复独立地进行n次 则称这一串重复独立试验为n重伯努利 Bernoulli 试验 简称伯努利试验 伯努利资料 设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数 p为一次试验中事件A发生的概率 即P A p 则X是一个随机变量 X的所有可能取值为0 1 2 n n重伯努利试验 由于各次试验相互独立 因此事件A在指定的k次试验中发生而其它n k次试验中不发生的概率为 由于这种指定的方式共有 种 故 的概率分布 不难验证上述分布正是二项式展开的各项 且 应用与背景 故称该分布为二项分布 记为 用矩阵表示即得分布矩阵 n重伯努利试验的概率分布就是二项分布 特别地 二项分布的图形 例4 解 经计算得 较大 很小 将对每台机床的维护看成一次试验 设在这段时间内出现故障的机床数为X 则X B 20 0 05 故所求概率为 一工人负责维修20台同类型的机床 在一段时间内每台机床需要维修的概率为0 05 求 1 在这段时间内有2 4台机床需要维修的概率 2 在这段时间内至少有2台需要维修的概率 例5 解 将导弹的每次发射看成一次试验 设共发射n次 击中的次数为X 则X B n 0 96 故击中敌机的概率为 已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为96 问至少需要发射多少枚导弹才能保证有99 9 的把握击中敌机 例6 解 因此 要保证有99 9 的把握击中敌机 n就应满足 亦即n 3 即至少需要发射3枚导弹才能满足要求 泊松资料 3 泊松分布 从上述几例及二项分布的分布公式不难看出 当n比较大时 要计算二项分布概率是非常麻烦的 不过当n很大 p很小时 我们有著名的二项分布的泊松逼近 泊松逼近定理设X服从二项分布B n p 则当n充分大时有下面的近似等式 其中 泊松逼近公式 二项分布与泊松逼近对比表 如果令 n 并取 则X已构成一个取全体非负整数的随机变量 我们把由此定义的X的分布叫做泊松分布 记作X P 泊松分布的图形 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子数时 做了2608次观察 每次时间为7 5秒 发现放射性物质在规定的一段时间内 其放射的粒子数X服从泊松分布 应用与背景 地震次数 火山爆发次数 特大洪水次数 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待顾客数 下列各事件发生的次数等 都服从泊松分布 再如 设出事故的次数为X 则 可利用泊松定理计算 故所求概率为 解 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0 0001 若每天在该段时间内有1000辆汽车通过 问出事故的次数不小于2的概率是多少 例7 JacobBernoulli Born 27Dec1654inBasel SwitzerlandDied 16Aug1705inBasel S