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文档简介

3 1 3空间向量的数量积运算 平面向量的夹角 平面向量的数量积的定义 即 你能类比平面向量的数量积的有关概念 计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念 计算方法和运算律 概念 1 两个向量的夹角的定义 2 两个向量的数量积 注意 两个向量的数量积是数量 而不是向量 零向量与任意向量的数量积等于零 3 空间向量的数量积性质 注意 性质2 是证明两向量垂直的依据 性质3 是求向量的长度 模 的依据 对于非零向量 有 4 空间向量的数量积满足的运算律 注意 思考 1 下列命题成立吗 若 则 若 则 应用 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关 所以立体几何中的距离 夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决 1 空间中的两条直线 特别是异面直线 的夹角 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得 对于两条直线的判断更为方便 2 空间中的距离 即两点所对应的向量的模 因此空间中的两点间的距离或线段的长度 可以通过求向量的模得到 典型例题 例1在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 分析 用向量来证明两直线垂直 只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可 证明 如图 已知 求证 在直线l上取向量 只要证 为 逆命题成立吗 分析 同样可用向量 证明思路几乎一样 只不过其中的加法运算用减法运算来分析 变式 设A B C D是空间不共面的四点 且满足则 BCD是 A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 不确定 C 分析 要证明一条直线与一个平面垂直 由直线与平面垂直的定义可知 就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直 例2 试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理 已知直线m n是平面内的两条相交直线 如果 m n 求证 m n 取已知平面内的任一条直线g 拿相关直线的方向向量来分析 看条件可以转化为向量的什么条件 要证的目标可以转化为向量的什么目标 怎样建立向量的条件与向量的目标的联系 共面向量定理 例2 已知直线m n是平面内的两条相交直线 如果 m n 求证 例3如图 已知线段在平面内 线段 线段 线段 如果 求 之间的距离 解 由 可知 由知 课堂练习 1 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB BB1 则AB1与C1B所成角的大小为 A B C D 2 已知在平行六面体中 求对角线的长 B 小结 通过学习 我们可以利用
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