空间向量的应用-证明平行与垂直.ppt

2 直线与平面平行的判定方法 如果平面 外的直线a的方向向量为a 平面 的法向量为n 则 如果平面 外的直线a的方向向量为a e1 e2是平面 的一组基底 不共线的向量 则a a n 0 a 1e1 2e2 a 3 平面与平面平行的判定方法 是两个不重合的两个平面 m n是平面 的一组基向量 m n 如果不重合的平面 和平面 的法向量分别为n1和n2 则 设两个不重合的平面 若平面 的法向量为n 则 n1 n2 n 2 利用向量的知识判定线面垂直的方法 1 直线与直线垂直的判定方法 如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b 则 2 直线与平面垂直的判定方法 如果直线a的方向向量为a 平面 的法向量为n 则 a b 0 a b a n a 如果直线a的方向向量为a e1 e2是平面 的一组基底 不共线的向量 则 3 平面与平面垂直的判定方法 如果不重合的平面 和平面 的法向量分别为n1和n2 则 设平面 的法向量为n e1 e2是平面 的一组基底 不共线的向量 则 a e1 0且a e2 0 a n1 n2 0 n 1e1 2e2 科目一考试网科目四考试网驾校一点通365网驾驶员理论考试网 1 在空间直角坐标系o xyz中 过点E 2 1 2 且与平面xoz平行的直线l交平面yoz于点P 则点P的坐标为 A 0 1 2 B 2 0 2 C 2 1 0 D 4 0 1 解析 过点E且平面xoz平行的直线交平面yoz于点P 则P的横坐标为0 纵坐标与竖坐标与E点相同 答案 A 解析 b 8a a b 故 1 2 答案 平等 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证MN 平面A1BD 分析 1 可以建立空间直角坐标系 用向量坐标法来解决 2 可以用共线向量或共面向量证明 点评与警示 证明线面平行可以用几何法 也可以用向量法 用向量法的关键在于构造向量并用共线向量定理或共面向量定理 若能建立空间直角坐标系 其证法更为灵活方便 人教A版选修2 1 P118例4改编 如图1所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 证明 PA 平面EDB 证明 方法一 如图2所示 连接AC AC交BD于O 连接EO 因为底面ABCD是正方形 所以点O是AC的中点 在 PAC中 EO是中位线 所以PA EO 而EO 平面EDB 且PA 平面EDB 所以 PA 平面EDB 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 证明 PA 平面EDB 证明 如图所示建立空间直角坐标系 D为坐标原点 设DC a 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD的中点 1 证明AD D1F 2 求AE与D1F所成的角 3 证明面AED 面A1FD1 3 由 1 知AD D1F 由 2 知AE D1F 又AD AE A 所以D1F 面AED 又因为D1F 面A1FD1 所以面AED 面A1FD1 点评与警示 用空间坐标运算证明 面面垂直 一般先求出其中一个平面的一个法向量 然后证明它垂直于另一个平面的法向量 因为本例有 1 2 作铺垫 所以直接利用其结果便可 在正方形ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD的中点 1 求证 平面AED 平面A1FD1 2 在AE上求一点M 使得A1M 平面ADE 1 证明 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 不妨设正方体的棱长为2 则A 2 0 0 E 2 2 1 F 0 1 0 A1 2 0 2 如图所示 已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形 ABC BCD 90 AB BC PB PC 2CD 侧面PBC 底面ABCD 证明 1 PA BD 2 平面PAD 平面PAB 分析 空间中各元素的位置关系和数量关系的核心是线与线的关系 线与线的关系完全可以用数量关系来表示 从而为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础 考虑到平面PBC 平面ABCD及PC PB 故可取BC的中点O为原点 OP为z轴 OB为x轴 证明 1 取BC的中点O 平面PBC 平面ABCD PBC为等边三角形 PO 底面ABCD 以BC的中点O为坐标原点 以BC所在直线为x轴 过点O与AB平行的直线为y轴 如图所示 建立空间直角坐标系 点评与警示 用向量的方法解决垂直问题即几何问题代数化 这种方法降低了思维的抽象性 使