《梯形》典型例题.doc

梯形典型例题例1 已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。求证：例2 已知，如图，梯形ABCD中，延长AB到E，使，求证：例3 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：（1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。例4 如图，已知：四边形ABCD是等腰梯形，其中，若，. 求：梯形ABCD的面积. 例5 如图，已知：在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O. 求证：. 例6 已知：如图，梯形ABCD中，. 求BC的长. 例7 已知：如图，在梯形ABCD中，过B作，过D作交BE于E. 求证：. 参考答案例1 分析 要证，则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。而，且，则问题得证，本题要证对应的角相等也并不困难。证明 四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，且为其对角线，。在和中，又，例2 证法一 由ABCD是等腰梯形，又，在与中，于是，故。证法二 如图，连结BD，由可知四边形DCEB为平行四边形，所以又ABCD为等腰梯形，于是，故证法三 如图，作于于M。在与中，所以又，故又由，可得所以F为AE的中点，CF为AE的垂直平分线，所以证法四 如图，连结BD。由知四边形BECD为平行四边形，所以。又ABCD是等腰梯形，所以又由，可知。所以说明：本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论，目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。例3 分析 画出这些图形的关键是认识这些图形，也可以动手剪出这样的四个直角三角形，动手拼一拼，拼的过程中要注意把相等的两条边拼在一起。解例4 分析：由已知条件知，梯形ABCD是等腰梯形，由于等腰梯形是一个轴对称图形，由图中的辅助线很容易想到. 在此基础上应用勾股定理，就可以解决问题. 解答：过点D、C作于E，于F. 则根据等腰梯形的轴对称性可知：. ， 四边形CDEF是矩形. . 在中，根据勾股定理有， . 说明 等腰梯形是一个轴对称图形，在计算等腰梯形的有关量时，就要从上底的两个端点作下底的垂线，从而产生一个矩形和两个全等的直角三角形，然后我们就可以根据等腰梯形的对称性，矩形自身的性质以及全等的直角三角形的性质解决问题例5 分析 图中有两条线AD和BC是平行的，也就是说一条直线上的各点到另一条直线的距离相等所以如果出现同底的三角形，就可以保证其面积相等，因此，在这个图形中就能出现面积相等的三角形证明：，A、D两点到BC的距离相等. 即中BC边上的高与中BC边上的高相等. （等底等高）. 说明 本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用. 例6 解法1 如图，延长DA，CB交于F. ， . 解法2 如图，作，交DC于E. ， 在中， ，分析 本题综合考查了梯形的性质及等腰三角形的判定，易错点是作辅助线后探索不出图中所含的等腰三角形. 解题关键是作出恰当的辅助线. 例7 分析：计算面积，我们可以通过面积的计算公式，但同时，对于一些特殊的图形可采取特殊的方法，如，同底同高的两个三角形面积相等，同底等高的三角形和平行四边形的面积比为. 那么由给出条件中的几对平行线，可考虑构造几个平行四边形. 延长DC交BE于F，延长AC交BE于M，则图中就有两个平行四边形，即AMED和ABFD. 而且这个平行四边形的底都为AD，且高都是AD，BE平行线之间的距离，即它们的高也相等，所以它们的面积相等. 继续观察图形可发现的面积恰好是ABFD面积的一半，的面积恰好是AMED的一半. 因此可证明这两个三角形的面积