高考数学一轮复习 8.1 直线方程精品课件 理 新人教A版.ppt

8 1直线方程 一 倾斜角与斜率1 倾斜角 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴正向与叫做直线l的倾斜角 当直线l与x轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为 因此 直线的倾斜角 的取值范围为 直线l向上方向之间所成的角 0 0 180 考点分析 2 斜率 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 即k 倾斜角是90 的直线没有斜率 3 斜率公式 经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式k 二 两条直线平行与垂直的判定1 两直线平行 1 对于直线l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 b1 b2 l1 l2 2 对于直线l1 a1x b1y c1 0 tan k1 k2 a1b2 a2b1 0a1c2 a2c1 0 或b1c2 b2c1 0 l2 a2x b2y c2 0 l1 l2 2 两直线垂直 1 对于直线l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 l1 l2 2 对于直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 l1 l2 三 直线的方程1 点斜式 表示过 x0 y0 点且斜率为k的直线 2 斜截式 表示过 0 b 点且斜率为k的直线 k1k2 1 a1a2 b1b2 0 y y0 k x x0 y kx b 3 两点式 表示过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 其中x1 x2 y1 y2 的直线方程 4 截距式 表示过两点 a 0 0 b ab 0 的直线方程 5 一般式 ax by c 0 其中a b不同时为0 若a 则直线2xcos 3y 1 0的倾斜角的取值范围是 b c 0 d 分析 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围 再确定倾斜角范围 考点一直线的倾斜角与斜率 题型分析 解析 设直线的倾斜角为 则tan cos 又 0 cos cos 0 即 tan 0 注意到0 故应选b 评析 1 求一个角的范围 是先求这个角某一个函数值的范围 再确定角的范围 2 在已知两个变量之间的关系式要求另一个变量的范围 常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围 本题中 在tan cos cos 0时 是利用余弦函数的单调性放缩的 其目的是消去变量 得到角 的正切值范围 对应演练 江苏省南通通州市2011届高三年级第二次统一测试 设 则直线y xcos m的倾斜角的取值范围是 a b c d d k cos 1 0 倾斜角 故应选d 求适合下列条件的直线方程 1 经过点p 3 2 且在两坐标轴上的截距相等 2 过点a 1 3 斜率是直线y 3x的斜率的 3 过点a 1 1 与已知直线l1 2x y 6 0相交于b点且 ab 5 分析 选择适当的直线方程形式 把所需要的条件求出即可 考点二求直线方程 解析 1 解法一 设直线l在x y轴上的截距均为a 若a 0 即l过点 0 0 和 3 2 l的方程为y x 即2x 3y 0 若a 0 则设l的方程为 l过点 3 2 a 5 l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为2x 3y 0或x y 5 0 解法二 由题意 所求直线的斜率k存在且k 0 设直线方程为y 2 k x 3 令y 0 得x 3 令x 0 得y 2 3k 由已知3 2 3k 解得k 1或k 直线l的方程为 y 2 x 3 或y 2 x 3 即x y 5 0或2x 3y 0 2 设所求直线的斜率为k 依题意k 3 又直线经过点a 1 3 因此 所求直线方程为y 3 x 1 即3x 4y 15 0 3 过点a 1 1 与y轴平行的直线为x 1 x 12x y 6 0 求得b点坐标为 1 4 此时 ab 5 即x 1为所求 设过a 1 1 且与y轴不平行的直线为y 1 k x 1 解方程组 2x y 6 0y 1 k x 1 x y k 2 否则与已知直线平行 则b点坐标为 由已知 1 2 1 2 52 解得k y 1 x 1 即3x 4y 1 0为所求 解方程组 得两直线交点为 评析 在求直线方程时 应先选择适当的直线方程的形式 并注意各种形式的适用条件 用斜截式及点斜式时 直线的斜率必须存在 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线 故在解题时 若采用截距式 应注意分类讨论 判断截距是否为零 若采用点斜式 应先考虑斜率不存在的情况 对应演练 求经过点a 5 2 且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程 1 当横截距 纵截距都是零时 设所求的直线方程为y kx 将 5 2 代入y kx中 得k 此时 直线方程为y x 即2x 5y 0 2 当横截距 纵截距都不是零时 设所求直线方程为 将 5 2 代入所设方程 解得a 此时 直线方程为x 2y 1 0 综上所述 所求直线方程为x 2y 1 0或2x 5y 0 已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 分析 可利用所求直线和已知直线的平行和垂直关系来确定a b的值 另外直线方程中含有字母参数 应分类讨论 考点三两条直线的平行与垂直 解析 1 由已知可得l2的斜率必存在 k2 1 a 若k2 0 则1 a 0 即a 1 l1 l2 直线l1的斜率k1必不存在 即b 0 又 l1过 3 1 3a b 0 即b 3a 不合题意 此种情况不存在 即k2 0 若k2 0 即k1 k2都存在 k1 1 a k2 l1 l2 k1 k2 1 即 1 a 1 又 l1过点 3 1 3a b 4 0 由 联立 解得a 2 b 2 2 l2的斜率存在 l1 l2 直线l1的斜率存在 k1 k2 即 1 a 又 坐标原点到这两条直线的距离相等 l1 l2 l1 l2在y轴上的截距互为相反数 即 b a 2a b 2b 2 a b的值为2和 2 或和2 由 联立 解得 或 评析 当所求直线的方程中存在字母系数时 不仅要考虑到斜率存在的一般情况 也要考虑斜率不存在的特殊情况 对于 1 若用l1 l2 a1a2 b1b2 0可不用分类讨论 对应演练 已知直线l1 ax 2y 6 0和直线l2 x a 1 y a2 1 0 1 试判断l1与l2是否平行 2 l1 l2时 求a的值 1 解法一 当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1不平行于l2 当a 0时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不平行于l2 当a 1且a 0时 两直线可化为l1 y x 3 l2 y x a 1 3 a 1 综上可知 a 1时 l1 l2 否则l1与l2不平行 l1 l2 解得a 1 解法二 由a1b2 a2b1 0 得a a 1 1 2 0 由a1c2 a2c1 0 得a a2 1 1 6 0 a a 1 1 2 0a a2 1 1 6 0 a2 a 2 0a a2 1 6 故当a 1时 l1 l2 否则l1与l2不平行 l1 l2 a 1 2 解法一 当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1与l2不垂直 故a 1不成立 当a 1时 l1 y x 3 l2 y x a 1 由 1 a 解法二 由a1a2 b1b2 0 得a 2 a 1 0 a 考点四直线方程的应用 为了绿化城市 拟在矩形区域abcd内建一个矩形草坪 如图 另外 efa内部有一文物保护区不能占用 经测量ab 100m bc 80m ae 30m af 20m 应如何设计才能使草坪面积最大 分析 建立直角坐标系 求出ef的方程 进而求解 解析 如图所示建立直角坐标系 则e 30 0 f 0 20 线段ef的方程为 0 x 30 在线段ef上取点p m n 作pq bc于点q pr cd于点r 设矩形pqcr的面积为s 则s pq pr 100 m 80 n 又 0 m 30 n 20 1 s 100 m 80 20 m m 5 2 0 m 30 当m 5时 s有最大值 这时 当草坪矩形的两边在bc cd上 一个顶点在线段ef上 且这个顶点分ef成5 1时 草坪面积最大 评析 用解析法解决实际问题 就是在实际问题中建立直角坐标系 用坐标表示点 用方程表示曲线 从而把问题转化为代数问题 利用代数的方法使问题得到解决 对应演练 过点p 2 1 作直线l分别与x y轴正半轴交于a b两点 1 当 aob面积最小时 求直线l的方程 2 当 oa ob 取最小值时 求直线l的方程 3 当 pa pb 取最小值时 求直线l的方程 1 解法一 设直线l的方程为 a 0 b 0 则 oa a ob b s aob ab 又点p在直线l上 1 a 0 b 0 2 即2 1 ab 8 即s aob最小值为4 当且仅当 即a 4 b 2时取 此时 直线方程为x 2y 4 0 解法二 设l的方程为y 1 t x 2 其中t 0 a点坐标为 2 0 b点坐标为 0 2t 1 s aob 2t 1 2 4t 4 2 4 4 当且仅当 4t即t 时取 此时 所求直线方程是x 2y 4 0 2 解法一 设l的方程为 a 0 b 0 则由p在l上得 oa ob a b a b a b 3 3 2 当且仅当即a b时 成立 直线方程为x y 2 0 解法二 设直线方程为y 1 t x 2 t 0 oa 2 ob 2t 1 oa ob 2t 3 2 3 当且仅当 2t 即t 时取 此时直线方程为x y 2 0 3 解法一 设直线方程为y 1 t x 2 t 0 则a 2 0 b 0 2t 1 pa pb pa pb 2 2 t 4 当且仅当t 即t 1时等号成立 这时直线l的方程为x y 3 0 解法二 如图 过点p作pm x轴 pn y轴 设 bao 在rt pam中 pm 1 pa 在rt pbn中 np 2 pb pa pb 又 为锐角 当2 即 时 pa pb 取最小值 此时直线斜率为 1 直线方程为x y 3 0 1 要正确理解倾斜角的定义 明确倾斜角的取值范围 熟记斜率公式 该公式与两点顺序无关 已知两点坐标 x1 x2 时 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率 当x1 x2 y1 y2时 直线的斜率不存在 此时直线的倾斜角为90 2 求斜率可用k tan 90 其中 为倾斜角 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割 牢记 斜率变化分两段 90 是分界 遇到斜率要谨记 存在与否需讨论 高考专家助教 3 两直线的