高三数学 平面向量的数量积及平面向量的应用复习课件.pptVIP

4 3平面向量的数量积及平面向量的应用 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 4 3平面向量的数量积及平面向量的应用 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 两个向量的夹角 1 夹角的定义 0 或180 90 非零 0 180 2 射影的定义设 是a与b的夹角 则 叫作b在a方向上的射影 叫作a在b方向上的射影 射影是一个实数 不是线段的长度 也不是向量 当 时 它是正值 当 时 它是负值 当 时 它是0 90 180 90 b cos a cos 0 90 提示 不正确 求两个向量的夹角时 两向量起点应相同 向量a与b的夹角为 abc 思考感悟 a b cos a cos a b 0 a b cos 对任意两个向量a b 有 a b a b 当且仅当a b时等号成立 3 向量数量积的运算律给定向量a b c和实数 有 a b b a 交换律 a b a b 数乘结合律 a b c 分配律 a b a b a c 思考感悟2 当a 0时 由a b 0一定有b 0吗 提示 不一定 a b 0有三种情形 a 0 b 0 a b即a与b的夹角为90 3 平面向量数量积的坐标运算 1 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 x1x2 y1y2 x2 y2 4 两个向量垂直的充要条件设a x1 y1 b x2 y2 则a b 5 直线的方向向量把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量 设直线方程为y kx b 则其方向向量为m 设直线方程为ax by c 0 则其方向向量为m 利用直线的方向向量可以表示过定点的直线方程 求两直线的夹角等 这给我们处理解析几何问题增加了一条新途径 x1x2 y1y2 0 1 k b a 解析 选b a b a b 0 6x 5 6 0 x 5 课前热身 2 原创题 若a 0 a b 0 则满足条件的b的个数是 a 0b 1c 2d 无数个解析 选d 只要b a即可 故b有无数个 答案 c 答案 3 答案 2 向量的数量积是向量之间的一种运算 它是向量与向量的运算 结果却是一个数量 平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法 考点探究 挑战高考 1 2010年高考北京卷 若a b是非零向量 且a b a b 则函数f x xa b xb a 是 a 一次函数且是奇函数b 一次函数但不是奇函数c 二次函数且是偶函数d 二次函数但不是偶函数 思路点拨 利用向量数量积的定义 性质 运算律及模的求法 即可解决 答案 1 a 2 d 3 b 1 数量积大于0说明不共线的两向量夹角为锐角 数量积等于0说明两向量的夹角为直角 数量积小于0且两向量不共线时 两向量的夹角就是钝角 2 找两向量的夹角 在图形中必须使两向量共起点 可以结合解三角形求角 3 解决向量垂直问题 常用向量垂直的充要条件即非零向量a b a b 0 x1x2 y1y2 0 2009年高考江苏卷 设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a与b 2c垂直 求tan 的值 2 求 b c 的最大值 3 若tan tan 16 求证 a b 思路点拨 利用两向量垂直时数量积为0的坐标运算公式可以解第一问 第二问中模的最值可以转化为三角函数的有界性求解 第三问中利用两向量平行的充要条件进行转化即可得证 名师点评 求解 b c 时注意到向量b与向量c的模都不是定值 因而利用坐标法先求和再求模 此方法较 b c 2 b2 c2 2b c要快捷得多 证明两向量平行时 可以利用两向量平行的充要条件公式 向量与其它知识结合 题目新颖而精巧 既符合考查知识的 交汇处 的命题要求 又加强了对双基覆盖面的考查 特别是通过向量坐标表示的运算 利用解决平行 垂直 成角和距离等问题的同时 把问题转化为新的函数 三角或几何问题 思路点拨 1 根据向量加 减法的几何意义求解 2 根据向量数量积的坐标运算 列方程求解 名师点评 利用向量解平面几何 解析几何问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的坐标表示的应用 方法技巧1 要熟练类似 a b sa tb sa2 t s a b tb2的运算律 s t r 如例1 1 2 解决向量模的问题的关键是利用 a 2 a2 将模的问题转化为数量积的问题 通过数的精确计算来解决问题 如例2 方法感悟 3 平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起 使它们之间的相互转化得以实施 因此 一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题 利用实数的有关知识来解决问题 另一方面 也要善于把实数问题转化为向量问题 利用向量作工具来解决相关问题 如例3 1 零向量 1 0与实数0的区别 不可写错 0a 0 0 a a 0 0 a 0 0 0 2 0的方向是任意的 并非没有方向 0与任何向量平行 我们只定义了非零向量的垂直关系 2 a b 0不能推出a 0或b 0 因为a b 0 a b 失误防范 平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一 考查重点是向量的数量积运算 向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等 既有选择题 填空题 又有解答题 属中低档题目 近几年试题中与平面几何 三角 解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点 主要考查运算能力和数形结合思想 考向瞭望 把脉高考 预测2012年高考仍将以向量的数量积运算 向量的垂直为主要考点 以与三角 平面几何 解析几何的交汇命题为考向 规范解答 解 1 法一 b c cos 1 sin 则 b c 2 cos 1 2 sin2 2 1 cos 3分 1 cos 1 0 b c 2 4 即0 b c 2 当cos 1时 有 b c 2 向量b c的长度的最大值为2 6分法二 b 1 c 1 b c b c 2 3分当cos 1时 有b c 2 0 即 b c 2 所以向量b c的长度的最大值为2 6分 名师点评 1 本题易失误的是 对向量的加法 数量积的坐标运算公式掌握不清 不会运算 导致无从下手 知道相关知识 知道解决思路 但运算出现错误 结果不准确 书写过程不详细 逻辑性不强 语句不流畅 卷面不整洁 对而不全 出现 b c b c 这种错误 2 本题主要考查平面向量 三角函数的概念 三角变换和向量运算等基本知识 考查基本运算能力 此题将平面向量 三角函数 三角变换三部分知识进行有机的融合 综合性强 学科内知识融合的问题是近年来高考考查的热点 因为这类题能很全面地考查考生综合运用知识 分析问题 解决问题的能力 3 一般来说向量与三角融合时 都会给出向量的坐标 都会进行向量的坐标运算 因此向量的坐标运算公式是必须要记住且要会使用 涉及向量平行或垂直 两个坐标关系式也要会熟练地应用 此题第 1 问 就是要先通过向量的加法运算求向量b c的坐标 第