高考数学一轮复习 7.2 空间几何体的表面积与体积精品课件 理 新人教A版.ppt

7 2空间几何体的表面积与体积 一 棱柱 棱锥 棱台和球的表面积1 设直棱柱高为h 底面多边形的周长为c 则直棱柱侧面面积计算公式 s直棱柱侧 即直棱柱的侧面积等于它的 2 设正n棱锥的底面边长为a 底面周长为c 斜高为h 则正n棱锥的侧面积的计算公式 s正棱锥侧 即正棱锥的侧面积等于它的 ch 底面周长和高的乘积 nah ch 底面的周长和斜高乘积的一半 考点分析 3 设棱台下底面边长为a 周长为c 上底面边长为a 周长为c 斜高为h 则正n棱台的侧面积公式 s正棱台侧 4 棱柱 棱锥 棱台的表面积或全面积等于 5 半径为r的球的表面积公式 s球 即球面面积等于它的 大圆面积的四倍 n a a h c c h 侧面积与底面积的和 4 r2 6 柱 锥 台的侧面积公式的内在联系 二 棱柱 棱锥 棱台和球的体积 1 柱体 棱柱 圆柱 的体积等于它的 即v柱体 底面半径是r 高是h的圆柱体的体积的计算公式是v圆柱 2 如果一个锥体 棱锥 圆锥 的底面积是s 高是h 那么它的体积是v锥体 如果圆锥的底面半径是r 高是h 则它的体积v圆锥 3 如果一个台体 棱台 圆台 的上 下底面的面积分别是s s 高是h 那么它的体积v台体 h s s 如果圆台的上 下底面的半径分别是r r 高是h 则它的体积是v圆台 h r 2 r r r2 底面积s和高h的乘积 sh r2h sh r2h 4 如果球的半径为r 则它的体积v球 r3 5 柱 锥 台的体积公式的内在联系 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm 且其侧面积等于两底面面积之和 求棱台的高 分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征直角梯形 转化为平面问题来求解所需几何元素 考点一多面体的表面积问题 题型分析 解析 如图所示 正三棱台abc a1b1c1中 o o1为两底面中心 d d1为bc和b1c1的中点 dd1为棱台的斜高 设a1b1 20 ab 30 则od 5 o1d1 由s侧 s上 s下 得 20 30 3 dd1 202 302 dd1 在直角梯形o1odd1中 o1o 棱台的高为cm 评析 求解有关多面体表面积的问题 关键是找到其特征几何图形 如圆柱中的矩形 棱台中的直角梯形 棱锥中的直角三角形 它们是联系高与斜高 边长等几何元素的桥梁 从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系 对应演练 已知正三棱锥的侧棱长为10cm 侧面积为144cm2 求棱锥的底面边长和高 设斜高为xcm 则x 144 3 x2 36或64 x 6或8 cm 底面边长为2 16或12 cm oc1 16 cm oc2 12 4 cm 在rt soc中 so2 答 棱锥的底面边长为16cm 高为cm或底面边长为12cm 高为2cm 如图7 2 3 在 abc中 若ac 3 bc 4 ab 5 以ab所在直线为轴 将此三角形旋转一周 求所得旋转体的表面积和体积 分析 首先要弄清该旋转体是由哪些基本的几何体组成的 再通过轴截面分析和解决问题 考点二旋转体的表面积 解析 如图所示 所得旋转体是两个底面重合的圆锥 高的和为ab 5 底面半径等于co 所以所得旋转体的表面积为s oc ac bc 3 4 其体积为v oc2 ao oc2 bo oc2 ab 评析 解决旋转体的表面积问题 要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图 借助于平面几何知识 求得所需几何要素 代入公式求解即可 对应演练 如图所示 在直径ab 4的半圆o内作一个内接直角三角形abc 使 bac 30 将圆中阴影部分 以ab为旋转轴旋转180 形成一个几何体 求该几何体的表面积 ab 4 r 2 s球 4 r2 16 设dc x 则ac 2x bc 在rt abc中 4x2 16 x s锥侧上 rl 2 6 s锥侧下 rl 2 2 s表 s球 s锥侧上 s锥侧下 11 如图所示 长方体abcd a b c d 中 用截面截下一个棱锥c a dd 求棱锥c a dd 的体积与剩余部分的体积之比 分析 选择适当的量 分别表示出两个几何体的体积 考点三多面体的体积 解析 已知长方体可以看成直四棱柱add a bcc b 设它的底面add a 面积为s 高为h 则它的体积为v sh 而棱锥c a dd 的底面面积为s 高是h 因此 棱锥c a dd 的体积vc a dd sh sh 余下的体积是sh sh sh 所以棱锥c a dd 的体积与剩余部分的体积之比为1 5 评析 求几何体的体积问题 可以多角度 多方位地思考 特别是对几何体的 割 与 补 是在求几何体体积时常用的思想方法 在平面几何中对不规则图形面积的求解也是该思想的具体应用 a b c d 对应演练 如图 在多面体abcdef中 已知abcd是边长为1的正方形 且 ade bcf均为正三角形 ef ab ef 2 则该多面体的体积为 a 如图 分别过a b作ef的垂线ag bh 垂足分别为g h 连结hc gd 则adg bhc为直棱柱 过g作gp ad于p 则ap dp 在rt age中 eg ae 1 ag 在rt apg中 gp s agd vagd bhc ve agd vf bhc s agd eg v vagd bhc 2ve agd 故应选a 如图所示 半径为r的半圆内的阴影部分以直径ab所在直线为轴 旋转一周得到一个几何体 求该几何体的体积 其中 bac 30 分析 先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状 再求表面积 考点四旋转体的体积 解析 如图所示 过c作co1 ab于o1 在半圆中可得 bca 90 bac 30 ab 2r ac r bc r co1 r 又v球 r3 v圆锥 ao1 r2 ao1 v圆锥 bo1 bo1 r2 v几何体 v球 v圆锥 v圆锥 r3 r3 r3 评析 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状 再将图形进行合理的分割 然后利用有关公式进行计算 对应演练 已知一个组合体的三视图如图7 2 10所示 请根据具体数据求几何体的体积 单位 cm 由三视图可知此组合体结构为 上部是一个圆锥 中部是一个圆柱 下部又是一个圆柱 由条件中的尺寸可知 v圆锥 sh 22 2 cm3 v圆柱中 sh 22 10 40 cm3 v圆柱下 sh 42 1 16 cm3 所以此组合体体积v v圆锥 v圆柱中 v圆柱下 40 16 cm3 湛江市11年高三调研 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 底面为直角三角形 acb 90 ac 6 bc cc1 p是bc1上一动点 则cp pa1的最小值为 分析 将所求最值问题转化为熟悉的平面上的最值问题 易解决 考点五曲面最值 解析 由直三棱柱的性质得a1b 2 又 a1c1b 90 a1c1 6 bc1 2 将 a1c1b与 bc1c沿bc1折放在同一平面内 则a1c为所求 评析 将 a1pc1与 bc1c放在同一平面内 找到a1c为所求最小值 如图所示 长方体abcd a1b1c1d1中 ab a bc b bb1 c 并且a b c 0 求沿着长方体的表面自a到c1的最短线路的长 对应演练 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能 如图所示 三个图形甲 乙 丙中ac1的长分别为 a b c ab ac bc 0 故最短线路的长为 1 对于基本概念和能用公式直接求出棱柱 棱锥 棱台与球的表面积的问题 要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决 这种题目难度不大 2 要注意将空间问题转化为平面问题 3 当给出的几何体比较复杂 有关的计算公式无法运用 或者虽然几何体并不复杂 但条件中的已知元素彼此离散时 我们可采用 割 补 的技巧 化复杂几何体为简单几何体 柱 锥 台 或化离散为集中 给解题提供便利 高考专家助教 4 与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 解题