高一数学 1.2.3 《空间中的垂直关系(1)》课件 新人教A版必修2.ppt

1 2 3空间中的垂直关系 1 一 直线与平面垂直的定义 1 两直线互相垂直 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点 并且交角为直角 则称这两条直线互相垂直 观察旗杆与地面内的每一条直线有什么关系 旗杆与地面的关系呢 2 直线与平面垂直 如果一条直线 l 和一个平面 相交于点a 并且a和这个平面内过点a的任何直线都垂直 则该直线垂直于这个平面 记作l 这条直线叫做平面的垂线 这个平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 在几何中 定义兼具两重性 既是判定又是性质 判定是指 如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线 那么这条直线与这个平面垂直 这是判定证明直线与平面垂直的一种方法 性质是指 如果一条直线垂直于一个平面 那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线 这是在线面垂直问题中经常要用到的一个结论 即 判断正误 如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直 则直线l和平面 互相垂直 二 直线与平面垂直的判定定理 1 定理 文字语言 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直 则这条直线与这个平面垂直 图形语言 符号语言 a b a b o l a l b l 实验 过 abc的顶点a翻折纸片 得到折痕ad 且使折痕ad bc 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 bd dc与桌面接触 证明 设m是 内的任意一条直线 推论1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 已知 直线l 平面 直线m 平面 垂足分别为a b 求证 l m 证明 假设直线m与直线l不平行 过直线m与平面 的交点b作直线m l 由直线与平面垂直的判定定理的推论1可知m 设m和m 确定的平面为 与 的交线为a 因为直线m和m 都垂直于平面 所以直线m和m 都垂直于交线a 因为在同一平面内 通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条 所以直线m与m 必重合 即有l m 例1 过一点和已知平面垂直的直线只有一条 已知 平面 和一点p 求证 过点p与 垂直的直线只有一条 证明 不论p点在 外或内 设pa 垂足为a 或p 如果过p点 除直线pa 外 还有一条直线pb 设pa pb确定的平面为 且 a 于是在平面 内过点p有两条直线pa pb垂直于交线a 这是不可能的 所以过点p与 垂直的直线只有一条 例1 有一根旗杆ab高8m 它的顶端a挂有一条长10m的绳子 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点 和旗杆脚不在同一条直线上 c d 如果这两点都和旗杆脚b的距离是6m 那么旗杆就和地面垂直 为什么 解 在 abc和 abd中 因为ab 8 bc bd 6 ac ad 10 所以ab2 bc2 82 62 102 ac2 ab2 bd2 82 62 102 ad2 所以 abc abd 90 即ab bc ab bd 又知b c d三点不共线 因此ab 平面bcd 即旗杆和地面垂直 例3 已知 直线l 平面 垂足为a 直线ap l 求证 ap在 内 证明 设ap与l确定的平面为 假设ap不在 内 则设 与 相交于直线am 因为l am 所以l am 又已知ap l 于是在平面 内 过点a有两条直线垂直于l 这是不可能的 所以ap一定在 内 直线与平面垂直的判定方法 3 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于同一个平面 1 定义 如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线 则此直线垂直于这个平面 2 判定定理 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线 那么此直线垂直于这个平面 4 如果直线和平面所成的角等于90 则这条直线和平面垂直 练习题 1 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等 则这条直线和平面的位置关系是 a 平行b 相交c 平行或相交 c 2 在空间 下列命题 1 平行于同一直线的两条直线互相平行 2 垂直于同一直线的两条直线互相平行 3 平行于同一平面的两条直线互相平行 4 垂直于同一平面的两条直线互相平行 正确的是 a 1 3 4 b 1 4 c 1 d 四个命题都正确 b 3 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面abcd的中心 b1h d1o h为垂足 求证 b1h 平面ad1c 证明 连接b1