数学模型 课程设计.doc

1. 请适当给出和的具体数据，求人口增长的Logistic模型的解析解，即求，其中为固有增长率，为人口容量。问题的简述：本题要求给出适当的和的具体数据，求人口增长的Logistic模型的解析解。问题的分析：题目要求给出具体的和的数据，求解析解。Logistic模型考虑到自然资源、环境条件等因素对对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，其中为固有增长率，为人口容量。如下为微分方程模型： 方程右端的rx体现了自身的增长趋势，因子（1-x/xm）则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用，显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。求方程的解析解：解：首先设固有的增长率r=5，=1.5*109,近年来人口增长率程下降趋势，假定它保持不变。在MATLAB下输入：x=dsolve(Dx=0.05*x*(1-x/1.5*109),x(0)=x0,t) x = 3/(2000000000-exp(-1/20*t)*(-3+2000000000*x0)/x0)2. 分别用ode45，ode23，ode13，ode15s，ode23s命令求解微分方程 并从计算的结果比较这些命令的差别。解：令,则原微分方程可变换为如下一阶微分方程：在m文件下输入如下代码：function dy=f(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);取t0=0，tf=3000，输入ode45命令：t,y=ode45(f ,0 1 3000,0 1);plot(t,y(:,1),-) 图如下所示： 输入ode23命令：t y=ode23(f,0 1 3000,0 1); plot(t,y(:,1),-) 图如下所示： 输入ode23s命令：t,y=ode23s(f,0 3000,0 1);plot(t,y(:,1),-)图如下所示：输入ode15s命令：t,y=ode15s(f,0 3000,0 1);plot(t,y(:,1),-)图如下所示： 3. 设表示食饵，为捕食者在时刻的数量，则建立了一个具体的Volterra模型为用相轨线理论分析食饵和捕食者的随着时间变化的规律，并尝试着改进模型。模型求解：在M文件下输入如下代码：function dx=f(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);取t0=0，tf=15建立如下主程序：t,x=ode15s(f,0 15,25 2);subplot(1,2,1)plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),-)subplot(1,2,2)plot(x(:,1),x(:,2)输出结果如下所示：结果分析：左图为x(1)、x(2)随时间变化的关系图形，右图为相轨线，由图可知x(1)、x(2)都为周期函数，当捕食者最多时，食饵最少，当捕食者从最多慢慢减少时，食饵则慢慢增加，所以可以看出捕食者和食饵之间是相辅相成的关系。模型改进：由于每个种群增加到一定程度时会出现自身的阻滞现象，则可以把Logistic模型加入Voltrra中，模型如下：4.一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率跑步，设椭圆方程为：，突然有一只狗攻击他，这只狗从原点出发，以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者。分别求出时狗的运动轨迹。问题简述：已知慢跑者的运动椭圆方程，求狗以恒定速度W向他跑来时，狗的运动轨迹。问题分析：狗的运动方向始终指向慢跑者，这是一个典型的追赶问题，根据慢跑者的轨迹来确定狗的运动轨迹，确定狗的微分运动方程。模型建立：设t时刻慢跑者的坐标为(X(t）,Y(t),狗的坐标为(x(t),y(t),则：，狗从（0,0）出发，狗运动的参数方程为：当w=20时，在文件下输入如下代码：function dy=f(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0,tf=10,建立主程序如下：t,y=ode45(f,0 10,0 0);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,-)hold onplot(y(:,1),y(:,2),*)图如下所示：当w=5时，在文件下输入如下代码：function dy=f(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0,tf=10,建立主程序如下：t,y=ode45(f,0 10,0 0);T=0: