高中数学第一轮总复习 第9章第55讲曲线与方程课件 理 新课标.ppt

第九章 圆锥曲线与方程 曲线与方程 第55讲 定义法求轨迹方程 已知 f1 x 3 2 y2 1 f2 x 3 2 y2 9 动圆p与 f1 f2均外切 求圆心p的轨迹方程 解析 设 p的半径为r 则由题意有 所以 pf2 pf1 2 f1f2 由双曲线的定义知 点p的轨迹是以f1 f2为焦点 实轴长为2的双曲线的左支 设双曲线的方程为 则 所以 故点p的轨迹方程为 x 1 在求动点p的轨迹方程时 有时可以先根据题中的几何条件 判断出轨迹的形状及位置 再运用待定系数法求方程的特征量 从而求出轨迹方程 这种方法称为定义法 本题在得出 pf2 pf1 2 f1f2 后 要注意它只表示双曲线的一支 点评 直接法求轨迹方程 已知动点p到定点f 1 0 和直线x 3的距离之和等于4 求点p的轨迹方程 设点p的坐标为 x y 则 当x 3时 方程可化为 化简得y2 4x 当x 3时 方程可化为 化简得y2 12 x 4 故点p的轨迹方程为 如图所示 已知p 4 0 是圆x2 y2 36内的一点 a b是圆上两动点 且满足 apb 90 求矩形apbq的顶点q的轨迹方程 相关点法求轨迹方程 本题主要考查利用 相关点代入法 求轨迹方程的能力 在此题中 欲求点q的轨迹方程 应先求点r的轨迹方程 若没有发现这个解题的实质 就会陷入僵局 由此可见 对某些比较复杂的探求轨迹方程的问题 可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程 再以此点作为主动点 所求的轨迹上的点为相关点 求得轨迹方程 点评 1 已知椭圆的焦点是f1 f2 p是椭圆上的一个动点 如果延长f1p到点q 使得 pq pf2 那么动点q的轨迹是 圆 解析 因为 pf1 pf2 2a pq pf2 所以 pf1 pf2 pf1 pq 2a 即 f1q 2a 所以动点q到定点f1的距离等于定长2a 故动点q的轨迹是圆 2 已知点m 3 0 n 3 0 b 1 0 圆c与直线mn切于点b 分别过m n且与圆c相切的两直线相交于点p 则p点的轨迹方程为 3 分别过a1 1 0 a2 1 0 作两条互相垂直的直线 则它们的交点m的轨迹方程是 x2 y2 1 解析 设m x y 因为ma1 ma2 所以ma1 ma2 0 即 x 1 y x 1 y 0 得x2 y2 1 4 已知圆c x 1 2 y2 1 过原点o作圆c的任意一条弦 求弦的中点的轨迹方程 5 如图 圆o1与圆o2的半径都是1 o1o2 4 过动点p分别作圆o1 圆o2的切线pm pn m n分别为切点 使得 pm 2 pn 试建立适当的坐标系 求动点 的轨迹方程 解析 以线段o1o2的中点o为原点 线段o1o2所在的直线为x轴 建立如图所示的平面直角坐标系 则o1 2 0 o2 2 0 由已知 pm pn 得 pm 2 2 pn 2 因为两圆的半径均为1 所以 po1 2 1 2 po2 2 1 设p x y 则 x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 即 x 6 2 y2 33 所以动点p的轨迹方程为 x 6 2 y2 33 或x2 y2 12x 3 0 3 定义法求轨迹方程 就是在思维的初期 先不用设点的坐标 而直接找动点所满足的几何性质 所以利用定义法求轨迹问题时 往往应该先考虑动点满足的距离关系 判断它是否满足五种曲线的定义 从而使问题快速解答 应用定义法时要特别重视用圆锥曲线的定义判断所求轨迹的类型 位置和形状 可借助圆锥曲线的标准方程 最大限度地减少直接法中化简和整理