高中数学第一轮总复习 第2章 第15讲 函数与方程课件 理 新课标.ppt

第二章 函数 函数与方程 第15讲 1 方程x2 2x 0的实数根的个数是 2 设x0是方程lnx x 4的解 则x0在区间 上 解析 设f x lnx x 4 因为f 2 ln2 20 2 3 3 3 若函数f x ax b只有一个零点2 则函数g x bx2 ax的零点为 4 若函数f x x2 2x a没有零点 则实数a的取值范围是 a 1 解析 由题意知即为方程x2 2x a 0无实数解 即4 4a1 5 用二分法求函数f x x3 2x 1的零点时 第一次计算f 0 0 得到零点x0 0 0 5 用区间表示 第二次计算的值是 f 0 25 函数零点的存在性判断与求解 点评 函数零点的存在性问题常用的办法有三种 一是零点存在的性质定理 即考察变号零点所在区间端点值的符号 二是直接解方程 求出方程的根或讨论方程根的存在性 三是构造函数 利用函数图象的交点判断函数零点的存在性 本题 1 是转化为方程求零点 本题 2 是构造函数 利用函数图象的性质研究函数零点的存在性 变式练习1 1 求函数y x3 3x的零点 2 已知函数f x x2 2x lg 2m 1 有两个异号零点 求实数m的取值范围 用二分法求方程的近似解 例2 求方程x3 x 1 0在区间 0 2 上的实数根 精确度为0 1 点评 在用二分法求解方程时 初始区间的选定往往需要通过分析函数的性质 了解函数的大致图象 或者试验估值 并逐步将零点值的区间范围缩小 初始区间的端点不一定选在两个相邻整数之间 初始区间选取不同 不影响最终的计算结果 变式练习2 求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点x0 2 5 那么下一个有解区间是 解析 设f x x3 2x 5 则f 2 10 f 3 16 0 故下一个有根区间是 2 2 5 2 2 5 函数零点的综合应用 点评 变式练习3 已知关于x的方程9 x 2 4 3 x 2 a 0有实数根 求实数a的取值范围 2 已知关于x的方程ax 2a 1 0在 1 1 上有一个实数根 则实数a的取值范围是 1 4 函数f x lgx sinx的零点个数为 解析 在同一坐标系中作出函数y sinx y lgx的图象如图 即可知道交点个数是3 即原函数的零点个数是3 3 5 设f x 3ax2 2bx c 若a b c 0 f 0 0 f 1 0 求证 方程f x 0在 0 1 内有两个实根 1 函数的零点函数的零点不是点 而是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 所以零点是一个实数 一个使函数值为0的实数 函数的零点分变号零点和不变号零点两种 变号零点可以用二分法求解 不变号零点一般通过函数图象判断 如函数y x 1 有一个零点x 1 它是不变号零点 所以f a f b 0是函数f x 在区间 a b 上存在零点的必要非充分条件 2 方程根的分布求方程的根或根的近似值 就是求函数的零点值或其近似值 将方程根的问题转化为函数的零点问题 不仅直观展现了方程根的几何意义 重要的是能够简化运算程序 提高解决问题