《走向清华北大》高考总复习 椭圆课件.ppt

第四十讲椭圆 回归课本1 椭圆的定义 1 定义 平面内两定点为f1 f2 当动点p满足条件点p到点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 时 p点的轨迹为椭圆 f1 f2是椭圆的两个焦点 2 定义的数学表达式为 pf1 pf2 2a 2a f1f2 3 注意 定义中 定值大于 f1f2 即2a 2c 是必要条件 当2a 2c时 动点轨迹是两焦点的连线段 而当2a 2c时 动点轨迹不存在 2 椭圆的标准方程与几何性质 考点陪练1 已知两定点a 1 0 b 1 0 点m满足 ma mb 2 则点m的轨迹是 a 圆b 椭圆c 线段d 直线答案 c 答案 d 答案 a 答案 c 类型一椭圆的定义解题准备 1 椭圆是圆锥曲线中最重要的内容之一 因而也是高考命题的热点 而椭圆的定义与标准方程往往是主要的考查点 也是研究其它椭圆问题的基础 2 椭圆的定义 平面内与两个定点f1 f2的距离的和为常数 大于 f1f2 的动点的轨迹 或集合 叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 用集合表示 椭圆上的点m满足集合均为常数且2a 2c 3 涉及椭圆定义的问题时 一定要注意 2a 2c 这一个前提条件 因为当平面内的动点与定点f1 f2的距离之和等于 f1f2 时 其动点轨迹就是线段f1f2 当平面内的动点与定点f1 f2的距离之和小于 f1f2 时 其轨迹不存在 典例1 一动圆与已知圆o1 x 3 2 y2 1外切 与圆o2 x 3 2 y2 81内切 试求动圆圆心的轨迹方程 解 两定圆的圆心和半径分别是o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 设动圆圆心为m x y 半径为r 则由题设条件 可知 mo1 1 r mo2 9 r mo1 mo2 10 由椭圆的定义知 m在以o1 o2为焦点的椭圆上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 故动圆圆心的轨迹方程为 反思感悟 先根据定义判断轨迹的类型 再用待定系数法求轨迹方程的方法叫定义法 用定义法求轨迹方程时 应首先充分挖掘图形的几何性质 找出动点满足的几何条件 看其是否符合某种曲线的定义 如本例 根据平面几何知识 列出内切 外切的条件后 可发现利用动圆的半径过渡 恰好符合椭圆的定义 从而用待定系数法求解 这里充分利用椭圆的定义是解题的关键 类型二求椭圆的标准方程解题准备 1 定义法 2 待定系数法 若已知焦点的位置可唯一确定标准方程 若焦点位置不确定 可采用分类讨论来确定方程的形式 也可以直接设椭圆的方程为ax2 by2 1 其中a b为不相等的正常数或由已知条件设椭圆系来求解 以避免讨论和繁琐的计算 类型三椭圆的几何性质解题准备 1 对椭圆几何性质的考查一直是高考命题的一个热点 尤其是对椭圆离心率的求解问题 更是考查的重点 2 对于焦点在x轴上 中心在原点的椭圆有以下性质 范围 a x a b y b 椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形框里 对称性 椭圆关于x轴 y轴和原点都是对称的 椭圆有四个顶点a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b 线段a1a2和b1b2分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于2a和2b 椭圆的离心率 反思感悟 求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分析 即使不画出图形 思考时也要联想到图形 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的关系 建立基本量之间的联系 类型四直线与椭圆的位置关系解题准备 1 直线方程与椭圆方程联立 消元后得到一元二次方程 然后通过判别式 来判断直线和椭圆相交 相切或相离 2 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标 通常是写成两根之和与两根之积的形式 这是进一步解题的基础 典例4 已知椭圆c的中心在坐标原点 焦点在x轴上 椭圆c上的点到焦点距离的最大值为3 最小值为1 1 求椭圆c的标准方程 2 若直线l y kx m与椭圆c相交于a b两点 a b不是左右顶点 且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 分析 1 由a c 3 a c 1 可求a c 2 直线方程与椭圆方程联立后得到交点a b的坐标关系 再根据以ab为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直 从而求得交点a b的坐标关系 联立后可求k m的关系 反思感悟 1 直线方程与椭圆方程联立 消元后得到一元二次方程 然后通过判别式 来判断直线和椭圆相交 相切或相离的情况 2 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标 通常是写成两根之和与两根之积的形式 这是进一步解题的基础 错源一定义理解不清致错 典例1 已知a 4 0 b 2 2 是椭圆内的一点 如图所示 m是椭圆上的一动点 求 ma mb 的范围 错解 欲使 ma mb 最大或最小 考虑动点m在椭圆上的位置 再结合图形 由于a是椭圆的右焦点 当m是左顶点时 ma 最大 当m是右顶点时 ma 最小 于是 ma mb 的最大值为最小值为 剖析 当 ma 最大时 ma mb 就一定最大吗 显然 不一定 正解 易知a 4 0 为椭圆的右焦点 设左焦点为f1 由a2 25知 mf1 ma 10 因此 ma mb 10 mb mf1 问题转化为 求椭圆上一点到b f1两点距离之差的最大值与最小值 连接b f1并延长交椭圆于两点 其一使 mb mf1 最大 另一个使 mb mf1 最小 则 ma mb 的最大值为最小值为 错源二忽视焦点位置致错 答案 12或20 错源三忽视变量的范围致错 剖析 0只能保证方程x2 6x 2k 0有解 而不能保证原方程组有解 因为原方程组中有隐含条件0 x 2 消去y后得到关于x的一元二次方程看不