连续型随机变量及其分布.ppt

2 4连续型随机变量及其分布 第二章 第七讲 一 连续型随机变量的定义及性质 二 常用的连续型随机变量 1 连续型随机变量的定义及性质 定义1 设F x 是随机变量X的分布函数 若存在非负 1 概率密度的定义 数 简称概率密度或密度函数 常记为 2 概率密度的性质 6条 非负性 面积为1 由于 这两条性质是判定一个函 的概率密度函数的充要条件 图中阴影部分 在该区间上的改变量 等于 在该区间上的积分 与端点是否在内无关 连续型随机变量X落在某区间 a b 上的概率为F x 的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度 这个高度越大 则X取a 附近的值的概率就越大 也可以说 在某点密度曲线 某点a处的高度f a 这是因为 对于任意实数a 有 称A为几乎不可能事件 B为几乎必然事件 可见 连续 解 判断下列函数是否为某随机变量的概率密度 故f x 可以作为某随机变量的概率密度 是显然的 解 设X的分布函数为 求 设连续型随机变量X的概率密度为 求 1 确定常数A的值 2 F x 离散型r v 的分布函数 连续型r v 的分布函数 分布函数的性质 分布律与分布函数的关系 概率密度与分布函数的关系 分布函数 2 几种常用的连续型随机变量 1 均匀分布 定义若随机变量X的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记作 均匀分布的密度函数的验证 因为 均匀分布的概率背景 说明 r vX取值在 a b 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比 均匀分布的分布函数 图形如下 解 依题意 X U 0 30 以7 00为起点0 以分为单位 某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀 随机变量 试求他候车时间少于5分钟的概率 所求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1 3 2 指数分布 若随机变量X的概率密度为 指数分布 记为 指数分布的分布函数为 概率密度的图形 指数分布的密度函数的验证 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用两 电子元件的寿命X 年 服从 3的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 年的概率为多少 解 由已知得X的概率密度为 上面的结果显示了指数分布具有无记忆性 即 3 正态分布 例 在大量重复试验中 得到一组数据 这组数据 虽然有波动 但总是以某个常数为中心 离中心越 近的数据越多 偏离中心越远的数据越少 取值呈 中间大 两头小 的格局 即取值具有对称性 此随机变量是一个服从正态分布的随机变量 正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布可以作为许多分布的近似分布 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 首次露面 正态分布在十九世纪前叶由高 德莫佛 高斯 德莫佛最早发现了二项分布概率的一个 近似公式 这一公式被认为是正态分布的 斯加以推广 所以通常称为高斯分布 正态分布的定义 定义1设连续型随机变量的概率密度为 记为 定义2 若X的概率密度为 则称X服从标准正态分布 记为 其图形分别如下所示 以上钟形曲线叫做正态曲线 满足以下特性 概率密度的验证 正态分布概率密度的性质 x离 越远 f x 的值就越小 曲线以x轴为水平渐近线 若 固定 而改变 的值 则f x 的图形沿x轴 形的位置完全由参数 所决定 称 为位置参数 如右图 正态分布由它的两个参数 和 唯一确定 当 和 不同时 正态分布也不同 若 固定 而改变 的值 由于f x 的最大值为 可知 越小该图形越陡 X的取值越集中 越大该图形越平坦 X的取值越分散 决定了图形中峰的陡峭程度 称 为形状参数 正态分布的分布函数 易得 227页 当时 如右图 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明X的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 当X N 0 1 时 3 准则 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 将3 准则推广到一般的正态分布 可以认为 Y的取值几乎全部集中在 的区间内 这在统计学上称为 3 准则 解 正态分布的标准化 变换就能将它化成标准正态分布 定理1若随机变量 则 证 标准正态分布的分布函数 所以 结论 例 解 设随机变