高考数学一轮复习 7.6 空间向量及其运算精品课件 理 新人教A版.ppt

7 6空间向量及其运算 1 空间向量 1 定义 与平面向量一样 在空间 我们把具有和的量叫做空间向量 向量的叫做向量的长度或模 大小 方向 大小 考点分析 3 特殊向量 零向量 我们规定 的向量叫做零向量 记为 单位向量 的向量称为单位向量 相反向量 称为a的相反向量 记为 a 2 表示方法 与平面向量一样 空间向量也用有向线段表示 有向线段的长度表示向量的模 如图所示 向量a的起点是a 终点是b 则向量a也可以记作ab 其模记为或 a ab 长度为0 0 模为1 与向量a长度相等而方向相反的向量 相等向量 的向量称为相等向量 因此 在空间 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 2 空间向量的数乘运算 1 定义 实数 与空间向量a的乘积仍是一个向量 称为向量的数乘运算 2 向量a与 a的关系 当 0时 a与a方向 当 0时 a 当 0时 a与a方向 a的长度是a的长度的倍 即 a 方向相同且模相等 a 相同 0 相反 a 3 运算律 分配律 a b 结合律 a a 3 共线向量 1 共线向量的定义与平面向量一样 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 则这些向量叫做共线向量或平行向量 2 共线向量定理对于空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使 3 共线向量的推论 a b 互相平行或重合 a b 如果l为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线 那么对于空间任意一点o 点p在直线l上的充要条件是存在实数t 满足等式op oa ta 其中a叫做直线l的 如图所示 若在l上取ab a 则 式可化为op 4 共面向量 1 共面向量的定义 通常把的向量 叫做共面向量 2 共面向量定理 方向向量 oa tab 平行于同一个平面 如果两个向量a b不共线 则向量p与向量a b共面的充要条件是存在唯一的实数对 x y 使p xa yb 3 共面向量定理的推论 如图 空间一点p位于平面mab内的充要条件是存在有序实数对 x y 使mp 或对空间一点o来说 有op om xma ymb 5 两向量的夹角已知两个向量a b 在空间任取一点o 作oa a ob b 则叫做向量a与b的夹角 记作 范围为 如果 则称a与b 记作 xma ymb 非零 aob 0 互相垂直 a b 6 数量积的定义已知两个非零向量a b 则叫做a b的数量积 记作a b 即a b 零向量与任何向量的数量积为0 特别地 a a 7 数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律 1 a b a b 2 a b b a 交换律 3 a b c a b a c 分配律 a b cos a b cos a2 a 2 8 空间向量基本定理定理如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得 由此可知 如果三个向量a b c不共面 那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作是由向量a b c生成的 我们把叫做空间的一个基底 都叫做基向量 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 p xa yb zc p p xa yb zc x y z r a b c a b c 9 空间向量的正交分解及其坐标表示设e1 e2 e3为有公共起点o的三个两两垂直的单位向量 我们称它们为单位正交基底 以e1 e2 e3的公共起点o为原点 分别以e1 e2 e3的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系o xyz 那么 对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移 使它的起点与原点o重合 得到向量op p 由空间向量基本定理可知 存在有序实数组 x y z 使得p xe1 ye2 ze3 我们把x y z称作 记作 此时向量p的坐标恰是点p在空间直角坐标系o xyz中的坐标 x y z 向量p在单位正交基底e1 e2 e3下的坐标 p x y z 10 空间向量的坐标运算若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 1 a b 2 a b 3 a r 4 a b 5 a b 6 a b 7 a a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 a1b1 a2b2 a3b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 a a 8 cos 11 空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中 设a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 则 1 ab 2 dab ab a2 a1 2 b2 b1 2 c2 c1 2 a2 a1 b2 b1 c2 c1 如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设aa1 a ab b ad c m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示以下各向量 1 ap 2 a1n 3 mp nc1 考点一空间向量的线性运算 题型分析 解析 1 p是c1d1的中点 ap aa1 a1d1 d1p a ad d1c1 a c ab a c b 2 n是bc的中点 a1n a1a ab bn a b bc a b ad a b c 分析 根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可 3 m是aa1的中点 mp ma ap a1a ap a a c b a b c 又nc1 nc cc1 bc aa1 ad aa1 c a mp nc1 a b c a c a b c 评析 用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 在立体几何中要灵活应用三角形法则 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立 对应演练 由线段中点的向量表示式 得og om mg om mn oa mo oc cn a a c b c a a c b c a b c 11年深圳九校联考 如图 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 2 求证 bd 平面efgh 3 om oa ob oc od 分析 1 要证e f g h四点共面 可寻求x y使eg xef yeh 2 由向量共线得到线线平行 进而得到线面平行 考点二共线 共面问题 证明 1 如图 连接bg 则eg eb bg eb bc bd eb bf eh ef eh 由共面向量定理的推论知 e f g h四点共面 2 因为eh ah ae ad ab ad ab bd 所以eh bd 又eh 平面efgh bd 平面efgh 所以bd 平面efgh 3 连接om oa ob oc od oe og 由 2 知eh bd 同理fg bd 所以eh fg 即ehfg 所以四边形efgh是平行四边形 所以eg fh交于一点m且被m平分 故om oe og oe og oa ob oc od oa ob oc od 评析 在求一个向量由其他向量来表示的时候 通常是利用向量的三角形法则 平行四边形法则和共线向量的特点 把要求的向量逐步分解 向已知向量靠近 进行求解 若要证明两直线平行 只需判定两直线所在的向量满足线性a b关系 即可判定两直线平行 如第 1 2 问即是如此 对应演练 如图 平行六面体abcd a1b1c1d1中 e f g分别是a1d1 dd1 d1c1的中点 请选择适当的基底向量证明 1 eg ac 2 平面efg 平面ab1c 证明 1 取ab a ad b aa1 c为一组基底 e f g分别是a1d1 dd1 d1c1的中点 eg ed1 d1g a b ac ab bc a b eg ac 即eg ac 从而eg ac 2 由 1 eg ac 同理可得ef b1c 又eg b1c c 平面efg 平面ab1c 在平行四边形abcd中 ab ac 1 acd 90 将它沿对角线ac折起 使ab和cd成60 角 如图7 6 8 求b d间的距离 分析 要分清折叠前后的变量与不变量 考点三数量积及运算 解析 acd 90 ac cd 0 同理ba ac 0 ab和cd成60 角 60 或120 bd ba ac cd bd2 ba2 ac2 cd2 2ba ac 2ba cd 2ac cd ba2 ac2 cd2 2ba cd 3 2 1 1 cos4 60 2 120 bd 2或 即b d间的距离为2或 评析 用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角 求两点距离或线段长度以及证明线线垂直 线面垂直等典型问题 1 求向量m和n所成的角 首先应选择合适的基底 将目标向量m和n用该组基底表示出来 再求其自身的数量积及长度 最后利用公式cos 2 由于线段的长度是实数 实数与向量之间如何转化 是思维中的常见障碍 在向量性质中 a 2 a a提供了向量与实数相互转化的工具 运用此公式 可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题 对应演练 如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 2 求mn的长 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 1 证明 设ab p ac q ad r 由题意可知 p q r a 且p q r三向量两两夹角均为60 mn an am ac ad ab q r p mn ab q r p p q p r p p2 a2 cos60 a2 cos60 a2 0 mn ab 同理可证mn cd 2 由 1 可知mn q r p mn 2 mn2 q r p 2 q2 r2 p2 2 q r p q r p a2 a2 a2 2 2a2 mn a mn的长为a 3 设向量an与mc的夹角为 an ac ad q r mc ac am q p an mc q r q p q2 q p r q r p a2 a2 cos60 a2 cos60 a2 cos60 a2 又 an mc a an mc an mc cos a a cos a2 cos 向量an与mc的夹角的余弦值为 从而异面直线an与cm所成角的余弦值为 1 已知a b c三点坐标分别为 2 1 2 4 5 1 2 2 3 求点p使得ap ab ac 2 a 3 5 4 b 2 1 8 求 a b a与b夹角的余弦值 确定 的值使得 a b与z轴垂直 且 a b ab 53 分析 第 1 问中只需代入点的坐标即可求解 第 2 问中 求夹角需利用数量积 因而需求得 a 与 b 代入公式cos 而求 的值 需利用z轴的单位向量联立方程组求解 考点四空间向量的坐标运算 解析 1 设p x y z 则ap x 2 y 1 z 2 ab 2 6 3 ac 4 3 1 ap ab ac x 2 y 1 z 2 2 6 3 4 3 1 6 3 4 3 2 x 2 3x 5y 1 y z 2 2解得z 0 p点坐标为 5 0 2 a b 3 5 4 2 1 8 3 2 5 1 4 8 21 a b cos a与b夹角的余弦值为 取z轴上的单位向量n 0 0 1 a b 5 6 4 a b n 0 a b a b 53 3 2 5 4 8 0 0 1 0 3 2 5 4 8 5 6 4 53 4 8 0 129 48 53 解得 故 依题意 即 评析 本题主要运用坐标代入运算即可 特别地 由 2 中 可知 a b与z轴垂直 只需满足 a b的竖坐标为零 即 4 8 0即可 可见要使a与某一坐标轴垂直 只要a的相应坐标为零即可 且反之亦成立 对应演练 如图所示 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是图矩形 ab 2 ad 1 aa1 3 m是bc的中点 在dd1上是否存在一点n 使mn dc1 并说明理由 建立以d为坐标原点 da为x轴 dc为y轴 dd1为z轴的坐标系 则c1 0 2 3 m 2 0 d 0 0 0 设n 0 0 h 则mn 2 h dc1 0 2 3 由mn dc1 2 h 0 2 3 4 3h 当h 3时 mn dc1 0 此时mn dc1 存在n dd1 使mn dc1 1 熟练掌握空间向量的运算 性质及其基本定理是解决空间向量问题的基础 特别是共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 数量积的性质等 2 利用向量解立体几何题的一般方法 把线段或角度转化为向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算或证明去解决问题 在这里 恰当地选取基底可使向量运算简捷 或者是建立空间直角坐标系 使立体几何问题转化为代数问题 在这里 熟练准确地写出空间中任