高考数学一轮复习 第9章第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文 新课标版.pptVIP

1 直线 平面垂直 1 定义 如果一条直线和一个平面内的直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直 任意一条 2 判定方法 定义 2 两个平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果 就说这两个平面互相垂直 它们所成的二面角是 直二面角 1 直线a 直线b a 平面 则b与 的位置关系是 a b b b c b d b 或b 解析 由垂直和平行的有关性质可知b 或b 答案 d 2 已知直线a和两个平面 给出下列四个命题 若a 则 内的任何直线都与a平行 若a 则 内的任何直线都与a垂直 若 则 内的任何直线都与 平行 若 则 内的任何直线都与 垂直 以下正确的是 a 为真b 为真c 为真d 为真 解析 若a 则 内的无数条直线都与a平行 但不是任意一条 即 不正确 若a 则 内的任何直线都与a垂直 即 正确 若 则 内的任何直线都与a平行 即 正确 若 则 内有无数条直线都与 垂直 但不是任意一条 即 不正确 综上可得 为真 答案 a 3 已知直线l 平面 直线m 平面 有下列命题 l m l m l m l m 其中正确的命题是 a 与 b 与 c 与 d 与 解析 对 l l 又因为m 所以l m 所以 正确 对 l 则l 或l 所以l不一定与m平行 所以 错误 对 因为l m l 所以m 又m 所以 所以 正确 错误 答案 d 4 如图 平面abc 平面bdc bac bdc 90 且ab ac a 则ad 解析 取bc中点e 连结ed ae 因为ab ac 所以ae bc 因为平面abc 平面bdc 所以ae 平面bcd 所以ae ed 在rt abc和rt bcd中 答案 a 1 直线和平面垂直 平面和平面垂直是直线与平面 平面与平面相交的特殊情况 对这种特殊位置关系的认识 既可以从直线和平面 平面和平面的夹角为90 的角度讨论 又可以从已有的线线垂直 线面垂直关系出发 进行推理和论证 还可以利用向量把几何推理和论证的过程转化为代数运算的过程 2 无论是线面垂直还是面面垂直 都源自于线与线的垂直 这种转化为 低维 垂直的思想方法 在解题时非常重要 在处理实际问题的过程中 可以先从题设条件入手 分析已有的垂直关系 再从结论入手分析所要证明的垂直关系 从而架起已知与未知之间的 桥梁 3 在线面垂直和面面垂直的判定定理中 有一些非常重要的限制条件 如 两条相交直线 一个平面经过另一个平面的一条垂线 等 这既为证明指明了方向 同时又有很强的制约性 所以使用这些定理时 一定要注意体现逻辑推理的规范性 4 空间中直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直三者之间可以相互转化 每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直 最终达到目的 其转化关系为线线垂直 5 注意掌握好以下几个相似结论 1 垂直于同一平面的两条直线平行 2 垂直于同一条直线的两个平面平行 3 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交 4 垂直于同一条直线的两条直线平行 相交或者异面 即时巩固详解为教师用书独有 考点一线面垂直的判定及性质 案例1 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面abcd的中心 b1h d1o h为垂足 求证 b1h 平面ad1c 关键提示 要证b1h 平面ad1c 已知b1h d1o 只需证明ac b1h 而要证ac b1h 只需证ac垂直于b1h所在的平面bd1 证明 连结b1d1 因为b1b ab b1b bc 所以b1b 平面abcd 所以b1b ac 又ac bd 所以ac 平面bd1 又b1h 平面bd1 所以ac b1h 又b1h d1o 所以b1h 平面ad1c 点评 1 证明直线和平面垂直的常用方法 1 利用判定定理 2 利用平行线垂直于平面的传递性 a b a b 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面垂直的性质 当直线和平面垂直时 该直线垂直于平面内的任一直线 常用来证明线线垂直 2 直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理 可以并入平行推导链中 实现平行与垂直的相互转化 即线线垂直 线面垂直 线线平行 线面平行 即时巩固1 2011届 潍坊质检 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 点f h分别为a1d a1c的中点 证明 1 a1b 平面afc 2 b1h 平面afc 证明 1 连结bd交ac于点e 则e为bd的中点 连结ef 又f为a1d的中点 所以ef a1b 又ef 平面afc a1b 平面afc 由线面平行的判定定理可得a1b 平面afc 2 连结b1c 在正方体中a1b1cd为长方形 因为h为a1c的中点 所以h也是b1d的中点 所以只要证明b1d 平面afc即可 由正方体性质知ac bd ac b1b 所以ac 平面b1bd 所以ac b1d 又f为a1d的中点 所以af a1d 又af a1b1 所以af 平面a1b1d 所以af b1d 又af ac为平面afc内的相交直线 所以b1d 平面afc 即b1h 平面afc 考点二面面垂直的判定及性质 案例2 2010 辽宁 如图 棱柱abc a1b1c1的侧面bcc1b1是菱形 b1c a1b 1 证明 平面ab1c 平面a1bc1 2 设d是a1c1上的点 且a1b 平面b1cd 求a1d dc1的值 1 证明 因为侧面bcc1b1是菱形 所以b1c bc1 又已知b1c a1b 且a1b bc1 b 所以b1c 平面a1bc1 又b1c 平面ab1c 所以平面ab1c 平面a1bc1 2 解 设bc1交b1c于点e 连结de 则de是平面a1bc1与平面b1cd的交线 因为a1b 平面b1cd 所以a1b de 又e是bc1的中点 所以d为a1c1的中点 即a1d dc1 1 点评 证明平面与平面垂直的方法主要有 1 利用定义证明 只需判定两平面所成的二面角为直三面角即可 2 利用判定定理 在审题时 要注意直观判断哪条直线可能是垂线 充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边 勾股定理等结论 即时巩固2 2009 江苏 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 e f分别是a1b a1c的中点 点d在b1c1上 a1d b1c 求证 1 ef 平面abc 2 平面a1fd 平面bb1c1c 证明 1 由e f分别是a1b a1c的中点知ef bc 因为ef 平面abc bc 平面abc 所以ef 平面abc 2 由三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱知cc1 平面a1b1c1 又a1d 平面a1b1c1 故cc1 a1d 又因为a1d b1c cc1 b1c c cc1 b1c 平面bb1c1c 故a1d 平面bb1c1c 又a1d 平面a1fd 所以平面a1fd 平面bb1c1c 考点三线线垂直的判定及性质 案例3 如图所示 s为 abc所在平面外一点 sa 平面abc 平面sab 平面sbc 求证 ab bc 关键提示 本题的条件是平面sab 平面sbc 要证明ab bc 需由面面垂直去证线线垂直 显然应考虑应用面面垂直的有关性质 证明 作ae sb 垂足为e 因为平面sab 平面sbc 且交线为sb 所以ae 平面sbc 因为bc 平面sbc 所以ae bc 又因为sa 平面abc 所以sa bc 从而bc 平面sab 而ab 平面sab 所以ab bc 点评 1 欲证两直线垂直 先判断这两条直线是否共面 若是证明共面的两直线垂直 则除了平面几何中所学的方法可用外 又有了一些新方法 解题时不能拘泥于平面的性质去思考 2 至此 证明线线垂直的方法有 按定义证明两直线所成的角为直角 由线面垂直证得线线垂直 利用三垂线定理 利用面面垂直的性质 即时巩固3 2009 海南 宁夏 如图 在三棱锥p abc中 pab是等边三角形 pac pbc 90 1 证明 ab pc 2 若pc 4 且平面pac 平面pbc 求三棱锥p abc的体积 1 证明 因为 pab是等边三角形 pac pbc 90 所以rt pbc rt pac 可得ac bc 如图 取ab的中点d 连结pd cd 则pd ab cd ab 所以ab 平面pdc 所以ab pc 2 解 作be pc 垂足为e 连结ae 因为rt pbc rt pac 所以ae pc ae be 由已知 平面pac 平面pbc 故 aeb 90 因为rt aeb rt peb 所以 aeb peb ceb都是等腰直角三角形 由已知pc 4 得ae be 2 aeb的面积s aeb 2 因为pc 平面aeb 所以三棱锥p abc的体积 考点四折叠问题 案例4 如图 a 在正方形sg1g2g3中 e f分别是边g1g2 g2g3的中点 d是ef的中点 现沿se sf及ef把这个正方形折成一个几何体 如图 b 使g1 g2 g3三点重合于点g 这样 下面结论成立的是 a sg 平面efgb sd 平面efgc gf 平面sefd gd 平面sef 解析 方法1 直接法 图 a 中 sg1 g1e sg3 g3f 在图 b 中 sg ge sg gf 所以sg 平面efg 所以应选a 方法2