高考数学一轮复习 第2章第9节 函数模型及其应用课件 文 新课标版.pptVIP

1 几类函数模型 1 一次函数模型 2 二次函数模型 3 指数函数模型 4 对数函数模型 5 幂函数模型 y ax b a 0 y ax2 bx c a 0 y m ax n m 0 a 0 a 1 y m logax n a 0 a 1 m 0 y a xn b a 0 n 1 2 函数模型的应用实例根据收集的数据的特点 通过建立函数模型 解决实际问题的基本过程如下 1 一等腰三角形的周长是20 底边y是关于腰长x的函数 它的解析式为 解析 由2x y 20 且y 2x 20 得y 20 2x 5 x 10 答案 y 20 2x 5 x 10 2 某种商品投放市场以来 曾经过三次降价 其价格由a元降至b元 那么该商品每次平均降价的百分数是多少 3 1980年我国人均收入255美元 若到2000年人民生活达到小康水平 即人均收入为817美元 则年平均增长率是多少 若不低于此增长率递增 则到2010年人均收入至少多少美元 解 设年平均增长率为x 则255 1 x 20 817 解得x 6 0 2010年平均收入至少为255 1 6 0 30 1464 4 一根弹簧原长15cm 已知在20kg内弹簧的长度与所挂物体的重量成一次函数关系 现测得当挂重量为4kg物体时 弹簧长度为17cm 问当弹簧长度为22cm时 所挂物体重量为多少kg 1 函数模型的应用实例解函数应用问题 一般可按以下四步进行 第一步 阅读理解 认真审题 即读懂题中的文字叙述 理解叙述所反映的实际背景 领悟从背景中概括出来的数学实质 尤其是理解叙述中的新名词 新概念 进而把握住新信息 在此基础上 分析出已知什么 求什么 涉及哪些知识 确定自变量与函数值的意义 尝试问题的函数化 在审题时 要抓住题目中的关键量 要勇于尝试 探索 敏于发现 归纳 善于联想 化归 实现应用问题向数学问题的转化 第二步 引进数学符号 建立数学模型 一般设自变量为x 函数为y 并用x表示各相关量 然后根据问题中的已知条件 运用已掌握的数学知识 物理知识及其他相关知识建立函数关系式 将实际问题转化为数学问题 实现问题的数学化 即所谓的建立数学模型 第三步 利用数学方法将得到的常规数学问题 即数学模型 予以解答 求得结果 第四步 转译成具体问题作出回答 2 有关logax xn和ax的研究一般地 对于指数函数y ax a 1 和幂函数y xn n 0 通过探索可以发现 在区间 0 上 尽管在一定范围内 ax会小于xn 但ax的增长速度快于xn的增长速度 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有ax xn 同样 对于对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 随着x的增大 logax增长得越来越慢 图象就像渐渐与x轴平行一样 尽管在一定范围内 logax可能会大于xn 但logax的增长速度慢于xn的增长速度 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有logax xn 综上所述 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此总会存在一个x0 当x x0时 就有logax xn ax 即时巩固详解为教师用书独有 考点一一次函数问题 案例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0 35元 卖出的价格是每份0 50元 卖不掉的报纸还可以每份0 08元的价格退回报社 在一个月 30天 里 有20天每天可以卖出400份 其余10天每天只能卖出250份 设每天从报社买进的报纸的数量相同 则应该每天从报社买进多少份 才能使每月所获的利润最大 该销售点一个月最多可赚多少元 关键提示 每月所赚的钱 卖报总的收入 付给报社的钱 而总的收入分为3部分 在可卖出400份的20天里 卖出x份 收入为0 5x 20元 在可卖出250份的10天里 在x份报纸中 有250份报纸可卖出 收入为0 5 250 10元 没有卖掉的 x 250 份报纸可退回报社 报社付出 x 250 0 08 10元 注意写出函数式的定义域 解 设每天应从报社买进x份报纸 由题意知250 x 400 设每月赚y元 得 y 0 5x 20 0 5 250 10 x 250 0 08 10 0 35x 30 0 3x 1050 x 250 400 因为y 0 3x 1050是定义域上的增函数 所以当x 400时 ymax 120 1050 1170 元 所以每天从报社买进400份报纸 所获的利润最大 每月最多可赚1170元 即时巩固1 某列火车从北京西站开往石家庄 全程277km 火车出发10min后 以120km h的速度匀速行驶 且火车在前10min内共行驶了13km 试写出火车行驶的路程skm与匀速行驶的时间th之间的函数关系式 并求火车行驶2h的路程 考点二二次函数问题 案例2 某市现有从事第二产业人员100万人 平均每人每年创造产值a万元 a为正常数 现在决定从中分流出x万人去加强第三产业 分流后 继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x 0 x 100 而分流出的从事第三产业的人员 平均每人每年可创造产值1 2a万元 在保证第二产业的产值不减少的情况下 分流出多少人 才能使该市第二 三产业的总产值增加最多 关键提示 保证第二产业的产值不减少 转译为数学语言是一个 二次不等式模型 该市第二 三产业的总产值增加最多 转译为数学语言是一个 二次函数的最值问题 解 设分流出x万人 为保证第二产业的产值不减少 必须满足 100 x a 1 2x 100a 因为a 0 x 0 可解得0 x 50 设该市第二 三产业的总产值增加f x 万元 则f x 100 x a 1 2x 1 2ax 100a 0 02a x2 110 x 0 02a x 55 2 60 5a 因为x 0 50 且f x 在 0 50 上单调递增 所以当x 50时 f x max 60a 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下 分流出50万人 才能使该市第二 三产业的总产值增加最多 1 将利润表示为月产量的函数f x 2 当月产量为何值时 公司所获利润最大 最大利润为多少元 关键提示 1 因为总收益 总成本 利润 所以利润 总收益 总成本 因为r x 是分段函数 所以f x 也是分段函数 2 分别求出f x 各段中的最大值 通过比较就可以求出f x 的最大值 当x 300时 有最大值25000 当x 400时 f x 60000 100 x是减函数 f x 60000 100 400 25000 综上 当x 300时 有最大值25000 所以月产量为300台时 公司所获利润最大 最大利润是25000元 点评 1 本题中的总收益满足的函数关系式已经给出 将利润表示为月产量的函数 只需利用 总收益 总成本 利润 这一关系直接求出即可 2 在函数应用题中 已知等量关系是解题的依据 如本题中 总收益 总成本 利润 再如 销售额 销售价格 销售量 等 几何中的面积和体积公式 物理学中的一些公式 也常用来构造函数关系 3 对于一些较复杂的应用问题 有时仅构造一个数学模型还不能从根本上解决问题 需先后或同时构造 利用几个函数模型方可 1 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 之间的函数关系式为 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 25毫克以下时 学生方可进教室 那么从药物释放开始 至少需要经过 小时 学生才能回到教室 即时巩固4 设在海拔xm处大气压强是ypa y与x之间的函数关系是y cekx 其中c k是常量 已知某地某日海平面的大气压为1 01 105pa 1000m高空的大气压为0 90 105pa 求600m高空的大气压强 结果保留3个有效数字 将c 1 01 105代入0 90 105 ce1000