1.1线性空间及其子空间.ppt

2020 2 9 1 应用数学基础 主讲人谢政 工程硕士研究生课程 2020 2 9 2 第1章线性空间 1 1线性空间及其子空间 1 2线性算子 1 3赋范线性空间 1 4内积空间 2020 2 9 3 1 1线性空间及其子空间 1 1 1集合 1 1 2线性空间的定义与例子 1 1 3线性空间的子空间 1 1 4线性空间的基和维数 2020 2 9 4 1 1 1集合 集合由具有某种性质所确定的事物的全体称为集合 常用大写字母表示 如A B C等 元素集合中的个体事物称为该集合的元素 常用小写字母表示 如a b c等 集合与元素的关系 集合的表示法 把一个集合的所有元素都列举出来 如 1 列举法 2 描述法 把一个集合的元素所具有的特征性质表示出来 如 2020 2 9 5 1 1 1集合 几种数集 表示自然数的集合 表示整数的集合 表示有理数的集合 表示实数的集合 表示复数的集合 2020 2 9 6 1 1 1集合 几个符号 表示 蕴涵 表示 当且仅当 表示 对任意的 或 对一切的 表示 存在一个 或 至少有一个 s t 表示 使得 或 满足 subjectto Exist Any 2020 2 9 7 1 1 1集合 集合之间的关系 若 称A是B的子集 若且 称A与B相等 记为 若且 称A是B的真子集 记为 记为 也称A包含于B 或B包含A 2020 2 9 8 1 1 1集合 由无限个元素组成的集合称为无限集 由有限个元素组成的集合称为有限集 用记号 A 表示有限集A中的元素的个数 称 A 为集合A的基数 不含任何元素的集合称为空集 记作 规定空集是一切集合的子集 2020 2 9 9 1 1 1集合 交 并 差 定义1 1设A B是两个集合 则定义它们的 集合之间的运算 2020 2 9 10 1 1 1集合 3 结合律 4 分配律 定理1 1设A B C均为集合 则有 1 幂等性 2 交换律 2020 2 9 11 1 1 1集合 例如 这里 n和 n中的元素用列向量的形式表示 定义1 2 Descartes乘积 直积 当集合A和B有一个为空集时 规定 2020 2 9 12 1 1 1集合 数域 定义1 3设 是含1的数集 如果 对于四则运算是封闭的 即 则称 是一个数域 是数域 不是数域 的子集称为数集 2020 2 9 13 1 1 1集合 实数集的确界 定义1 4设 b 则称是A的上确界 记为 superemum 2020 2 9 14 1 1 1集合 b 则称是A的下确界 记为 infimum 2020 2 9 15 1 1 1集合 如果非空实数集A有最大 小 值 那么它就是A的上 下 确界 反之不真 确界存在公理任何有上 下 界的非空实数集必有上 下 确界 非空实数集A的最大值 或最小值 是指A中所有实数 的最大者 或最小者 记为 或 maximum minimum 2020 2 9 16 1 1 2线性空间的定义及例子 定义1 5设X是非空集合 是数域 或 在X上定义加法 在 和X上定义数乘 算式中的 可省略 并且满足 交换律 结合律 2020 2 9 17 1 1 2线性空间的定义及例子 零元素 负元素 结合律 分配律 分配律 则称X是数域 上的线性空间 2020 2 9 18 1 1 2线性空间的定义及例子 上述加法运算和数乘运算统称为线性运算 当 时 称X是为实线性空间 当 时 称X是为复线性空间 在一个线性空间中 零元素0是惟一的 任何一个元素x的负元素也是惟一的 记之为 x 2020 2 9 19 1 1 2线性空间的定义及例子 例1 1 定义加法和数乘 则 n是数域 上的线性空间 按照同样的加法和数乘 n是数域 上的线性空间 线性空间 n和 n称为向量空间 2020 2 9 20 1 1 2线性空间的定义及例子 例1 2设是全体实矩阵的集合 在上定义加法和数乘 2020 2 9 21 1 1 2线性空间的定义及例子 则是数域上的线性空间 同样可以定义全体复矩阵的集合上定义矩 阵的加法和数乘 使是数域上的线性空间 线性空间和称为矩阵空间 线性空间和称为方阵空间 2020 2 9 22 1 1 2线性空间的定义及例子 例1 3设C a b 是闭区间 a b 上所有连续实函数 包 法和数与函数的乘法为 则C a b 是数域 上的线性空间 2020 2 9 23 1 1 2线性空间的定义及例子 闭区间 a b 上全体多项式的集合P a b 所有n次多项式的集合 按照C a b 上的线性运算不构成线性空间 注 以及 a b 按照 C a b 上的线性运算分别成为数域 上的线性空间 上所有次数不超过n的多项式的集合Pn a b 2020 2 9 24 1 1 3线性空间的子空间 定义1 6设X是数域 上的线性空间 Y是X的一个非空子集 如果Y对X的线性运算是封闭的 即 则称Y是X的线性子空间 简称为X的子空间 在线性空间X的线性运算下 Y本身是线性空间 2 仅含零元素的集合 0 以及X本身都是X的子空间 3 P a b 和Pn a b 都是线性空间C a b 的子空间 注 2020 2 9 25 1 1 3线性空间的子空间 例1 4在线性空间 3中 过原点 0 0 0 的平面 是 3的一个线性子空间 其中a b c是三个给定实数 2020 2 9 26 1 1 3线性空间的子空间 例1 5设A m n b m b 0 则齐次线性方程组Ax 0的解的集合 是 n的一个线性子空间 非齐次线性方程组Ax b的解的集合 是 n的一个子集 但不是 n的子空间 2020 2 9 27 1 1 3线性空间的子空间 定义1 7设X是数域上的线性空间 称X中的元素 1 1 是x1 x2 xn的一个线性组合 如果 且 则称 1 1 式中x是x1 x2 xn的凸组合 则称 1 1 式中x是x1 x2 xn的严格凸组合 如果 且 2020 2 9 28 1 1 3线性空间的子空间 例1 6设X是 上的线性空间 M是X的非空子集 令 即spanM是由M中任何有限个元素的任意线性组合的全体组成的集合 则spanM是包含M的最小线性空间 亦即是X中一切包含M的子空间的交 称spanM为由M生成的子空间 2020 2 9 29 1 1 3线性空间的子空间 则 n中的任何一个向量x x1 x2 xn T都可由向量组e1 e2 en线性表示 即 2020 2 9 30 1 1 3线性空间的子空间 并且 n span e1 e2 en 同样复向量空间 n中的任何一个向量都可由向量组e1 e2 en线性表示 且 n span e1 e2 en 定义1 8设X是实线性空间 S X 若 x1 x2 S 有 则称S为X中的凸集 2020 2 9 31 1 1 3线性空间的子空间 连接其中任意两点间的线段上的所有点都属于此集合 凸集的几何特征 实线性空间X的每一个子空间都是X的凸集 2中的圆或凸多边形所围成的区域都是 2的凸集 2020 2 9 32 1 1 4线性空间的基和维数 定义1 9设X是数域 上的线性空间 M是X的非空子集 当M x1 x2 xr 为有限集时 如果 则称M线性无关 当M为无限集时 如果M的每一个 非空有限子集都是线性无关的 则称M是线性无关的 如果集合M不是线性无关的 则称M是线性相关的 2020 2 9 33 1 1 4线性空间的基和维数 无关集 定义1 10设X是数域 上的线性空间 B X是线性 如果spanB X 即X的每一个元素都可以由 B中有限个元素线性表示 则称B是X的一个基 当基B为有限集时 称X为有限维线性空间 称 B 为 线性空间X的维数 记为dimX B 否则称X为无 限维线性空间 2020 2 9 34 1 1 4线性空间的基和维数 有限维线性空间X的基是不惟一的 但是X的每一个基所含元素的个数必定是相同的 向量集 e1 e2 en 是 n 或 n 的一个基 从而dim n dim n n 向量集 也是 n 或 n 的一个基 注 1 因线性空间 0 没有基 故规定di