《素阶的定义》PPT课件.ppt

1 5循环群 一 元素阶的定义 定义1 5 1 元素的阶 定理1 5 3 循环群判定 三 循环群的定义 定理1 5 1 群元素阶的性质 定理1 5 2 群元素阶的特点 例3 定义1 5 2 例9 例5 例8 例10 四 循环群的性质 例1 例2 二 群元素阶的性质 例4 例7 例11 定义1 5 4 循环群 定理1 5 5 定理1 5 6 一 群元素阶的的定义 定义1 5 1设是一个群 是的单位元 如果存在正整数 使 则称是有限阶 的 否则称是无限阶的 使的最小正整数称 为元素的阶 order 记作 如果是无限 阶的 则记作 例1在中 计算每个元素的阶 解 所以 类似地 可得 因为 例2在中 计算每个元素的阶 解 直接计算可得 由此得 例3在整数加群中 除零元外 每个元素都 是无限阶的 例4在群中 解直接计算可得 其中为单位矩阵 由此知 下面讨论的阶 我们有 所以不可能是有限阶的 即 二 群元素阶的性质 定理1 5 1设是一个群 是的单位元 1 对任意的 有 2 设 如果有 使则 3 设 则对任意的 4 设 如果 且 则 对于 2 因为 所以存在 使 如果 则 与的选取矛盾 对于 4 设 则 其中 从而 由此得 又因为 所以 由 进一步可得 1 5 1 另一方面 将式 1 5 1 和式 1 5 2 结合起来 得 这就是所要证明的 所以 同理可证 定理1 5 2设是一个有限群 则对 任意的 是有限阶的 且 即 有限群的任何一个元素的阶都是群阶数的因子 三 循环群的定义 定义1 5 2设是群 如果存在 使得 则称为一个循环群 cyclicgroup 并称为的 一个生成元 generator 当的元素个数无限时 称 为无限循环群 当的元素个数为时 称为阶循环群 注由循环环群的定义容易推出 1 2 如果是有限群 则 3 如果为无限循环群 则 且对 由 必可推出 4 如果为阶循环群 则 且对 证显然 是无限群 又因为 并且对任意的 显然 从而知与是群的仅有的两个生成元 所以 容易看出 所以 例5整数加群是无限循环群 例 设为正整数 则模剩余类加群 所以是阶循环群 例7对次单位根群 令 则 所以是一个阶循环群 直接验证可知当 时 都是的生成元 例8由例2可知 在中 所以是阶循环群 且与是的两个生成元 显然是两个仅有的生成元 定理1 5 3设为素数 则是阶循环群 例9是否循环群 解 容易算出 所以每一个元素的阶都小于的阶8 四 循环群的性质 定理1 5 4设为循环群 则 1 如果 则与是的两个仅有的生成元 的生成元的充分必要条件是 2 如果 则恰有个生成元 且是 这里是欧拉函数 证 1 显然 与都是的生成元 又如 是的任一生成元 则存在 使 由注 3 得 从而 这就证明了 1 2 由定理5 1 3 从而 为的生成元 故由欧拉函数的定义知的生成元的个数为 例10求的全部生成元 且 由此得的全部生成元为 定理1 5 5循环群的任一子群也是循环群 证设为循环群 为的一个子群 如果 如果 对任意的存在使 则是循环群 从而必含有的某些正整数幂 则 因 从而由的选取知 于是 推论1设是任一整数 如果 则 推论2设为循环群 1 如果 则的全部子群为 2 如果 则的全部子群为 证明作为练习 例11求的全部子群 解因的全部正因子为 所以的子群共有以下个 即为所求全部子群 定理1 5 6设为循环群 1 如果是无限循环群 则 2 如果是阶循环群 则 i 显然是到的映射 证 1 令 ii 设 如果则由注 3 得 所以是到的单映射 iv 对任意的 有 2 令 所以是到的同构映射 因此 i 设则 于是 从而 所以是到的映射 ii 设 如果即 则 从而 所以是到的单映射 所以是到的满映射 iv 对任意的 有 所以是到的同构