高中数学第一轮总复习 第2章 第9讲 函数的单调性课件 理 新课标.ppt

第二章 函数 函数的单调性 第9讲 增函数 2 已知函数y f x 在定义域r上是单调减函数 且f a 1 f 2a 则a的取值范围是 解析 f a 1 f 2a 又y f x 在定义域r上是单调减函数 所以a 11 3 设函数f x 是r上的单调减函数 且f m2 f m 则实数m的取值范围为 解析 依题意得m2 m 解得 1 m 0 a 1 1 0 4 函数f x 4x2 mx 5在区间 2 上是增函数 在区间 2 上是减函数 则f 1 解析 由题意得 对称轴为x 2 所以 2 即m 16 f x 4x2 16x 5 f 1 4 16 5 25 25 0 1 函数单调性的判断与证明 点评 研究函数的单调性一般有两种方法 即定义法和导数法 定义法是基础 掌握定义法的关键是作差 f x2 f x1 运算的结果可以判断正 负 本题判断正 负的依据是代数式 x1x2 a 处理这个代数式的符号是一个难点 要有一定的数学功底作基础 把x1 x2看成自变量 则转化为判断 x2 a 的符号 变式练习1 求证 函数f x x3 x在r上是增函数 求函数的单调区间 点评 变式练习2 求函数f x loga 3 2x x2 00 则x 3 1 由于函数u的图象的对称轴为直线x 1 所以函数u在 1 1 上是单调减函数 在 3 1 上是单调增函数 又因为函数y logau 0 a 1 是单调减函数 所以函数f x loga 3 2x x2 0 a 1 的单调减区间为 3 1 单调增区间是 1 1 函数单调性的应用 例3 若函数y log2 x2 ax 3a 在 2 上是单调增函数 求实数a的取值范围 点评 利用函数单调性讨论参数的取值范围是高考试题考查能力的知识结合点 一般要弄清三个环节 1 考虑函数的定义域 保证研究过程有意义 本题中 不能忽视u x2 ax 3a 0 2 保证常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的同一性 本题中 a 2 是单调增区间 与 2 一致 3 注意防止扩大参数的取值范围 本题中 u 2 0 变式练习3 是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是单调增函数 证明你的结论 抽象函数的单调性 点评 抽象函数单调性问题的特点是 1 给出定义域 2 给出满足函数意义的表达式 本题是f xy f x f y 3 讨论函数的单调性和不等式求解等问题 处理方法 1 在定义域内任意取值 找出某些具体的函数值 如f 1 等 2 抓住关系式 如f xy f x f y 进行适当的赋值和配凑 如本题中找出f x f 1 x 3 从函数值的大小关系中 根据单调性 脱掉函数符号 转化为自变量间的大小关系 但要注意自变量的取值必须在定义域内 最后通过解不等式 组 来完成 变式练习4 定义在r上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 且对任意的x y r都有f x y f x f y 1 证明 对任意的x r f x 0 2 证明 f x 是r上的单调增函数 3 若f x f x2 x 1 求x的取值范围 2 证明 设x10 所以f x2 x1 1 且f x1 0 所以f x2 f x1 0 故函数f x 在r上是单调增函数 3 由f x f x2 x f x2 2x 1 f 0 得x2 2x 0 解得 2 x 0 所以x的取值范围是 2 0 1 若函数f x x2 2 a 1 x 2在 4 上是单调减函数 则实数a的取值范围是 解析 依题意得对称轴方程为x 1 a 则1 a 4 得a 3 3 a 2或a 4 1 2 2 导数法 设f x 定义在区间d上 求f x 对x d 若f x 0 0 则函数f x 在d上是单调增函数 单调减函数 2 求函数的单调区间的方法 1 定义法 2 图象法 3 导数法 步骤 先求定义域 再选择合适的方法求单调区间 注意点 结论只能写成区间的形式 多个单调区间中间用 隔开 不能 并 3 复合函数的单调性函数y f u x 称为复合函数 其中u x 称为 内层函数 y f u 称为 外层函数 内 外层函数 的单调性相同时 函数y f u x 是单调增函数 相反时 函数y f u x 是单调减函数 简称为 同增异减 在讨论复合函数的单调性时 定义域是不能忽视的 要注意内层函数的值域是外层函数的定义域 在复合函数单调性问题中 对参数的讨论是一个难点 因为参数所具有的性质与单调区间有直接关系 因此要注意两点 一是确保单调区间上函数有意义 二是根据单调性 转化为不等式 组 问