届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：5.2向量的字符运算.pptVIP

第五章 平面向量 5 2向量的字符运算 一 平面向量数量积的有关概念1 已知两个非零向量a b 过O点作OA a OB b 则 AOB 0 180 叫做向量a与b的夹角 很显然 当且仅当两非零向量a b同方向时 当且仅当a b反方向时 同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题 0 180 2 如果a b的夹角为 则称a与b垂直 记作 3 a b是两个非零向量 它们的夹角为 则 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 即 规定0 a 当a b时 这时a b 二 a b的几何意义1 一个向量在另一个向量方向上的投影 90 a b a b cos a b a b cos 0 90 0 设 是a与b的夹角 则 称作a在b方向上的投影 11 称作b在a方向上的投影 b在a方向上的投影是一个数 而不是向量 当12 时 它是正数 当13 时 它是负数 当 90 时 它是零 2 a b的几何意义 a b等于14 与b在a方向上的投影的乘积 3 a b的性质 设a b是两个非零向量 e是单位向量 于是有 a cos b cos 0 90 90 180 a 1 e a a e a cos 2 a b 15 3 当a与b同向时 a b 16 当a与b反向时 a b 17 特别地 a a a2 a 2 或 a 18 4 cos 19 5 a b a b a b 0 a b a b 盘点指南 0 180 90 a b a b cos a b a b cos 0 90 0 a cos 11 b cos 120 90 1390 180 14 a 15a b 0 16 a b 17 a b 18 19 已知向量a和b的夹角为120 a 1 b 3 则 5a b 解 所以 5a b 7 7 若a b c为任意向量 m R 则下列等式不一定成立的是 A a b c a b c B a b c a c b cC m a b ma mbD a b c a b c 解 A B C是运算律 而a b R b c R 所以 a b c a b c 不一定成立 故选D D 在 ABC中 已知向量与满足且则 ABC为 A 三边均不相等的三角形B 直角三角形C 等腰非等边三角形D 等边三角形解 在 ABC中 M在 BAC的平分线上 由知所以 则 ABC是等腰三角形 因为所以则 BAC 60 所以 ABC是等边三角形 故选D 1 在 ABC中 O为中线AM上一个动点 若AM 2 则的最小值是 解 设所以故填 2 题型1向量的数量积运算 点评 向量的数量积是最基本的向量的运算 字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积 注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化 已知 a 2 b 3 a与b的夹角为 c 5a 3b d 3a kb 求当实数k为何值时 c d 解 要使c d 即c d 0 即 5a 3b 3a kb 0 所以15a2 9 5k a b 3kb2 0 所以15 4 9 5k 2 3cos 3k 9 0 解得k 所以当k 时 c与d垂直 2 已知向量a与b的夹角为120 且 a 4 b 2 求 1 a b 2 3a 4b 3 a 2b a b 解 依题意得a b a b cos 4 2 cos120 4 1 因为 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 a 2 2a b b 2 42 2 4 22 12 所以 a b 题型2向量的模 2 因为 3a 4b 2 3a 4b 2 9a2 24a b 16b2 16 19 所以 3a 4b 3 a 2b a b a2 2a b a b 2b2 42 4 2 22 12 点评 求形如 a b 的模 一般是通过 a b 2 a b 2把求模转化为数量积来求解 注意求得的是模的平方 最后求得其算术平方根即可 已知平面上三个向量a b c的模均为1 它们相互之间的夹角均为120 1 求证 a b c 2 若 ka b c 1 k R 求k的取值范围 解 1 证明 因为 a b c 1 且a b c之间的夹角均为120 所以 a b c a c b c a c cos120 b c cos120 0 所以 a b c 0 所以 a b c 2 解法1 因为 ka b c 1 即 ka b c 2 1 即k2a2 b2 c2 2ka b 2ka c 2b c 1 因为a b b c a c 所以k2 2k 0 所以k2 解法2 由已知a b c 0 故 ka b c ka a k 1 a k 1 ka b c 1 k R k 1 1 k2 3 已知向量a b c两两所夹的角都为120 a 1 b 2 c 3 求向量a b c与a的夹角 解 由已知得 a b c a a2 a b a c 1 1 2 cos120 1 3 cos120 又 a b c 2 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 1 4 9 2 1 2 cos120 2 1 3 cos120 2 2 3 cos120 3 题型3向量的夹角 所以 a b c 设a b c与a的夹角为 则又 0 所以 故向量a b c与a的夹角为 点评 求两向量的夹角 就是先利用数量积与模的积之比求得夹角的余弦值 而数量积与模的积又是通过基本向量之间的和 差 数量积运算而求得 这正体现了运算的综合性与交互性 1 向量的字符运算是向量运算的一种基本形式 它类似于实数的字母运算 在没有几何背景和向量坐标的向量问题中 一般通过这种运算解答相关问题 2 向量的字符运算以向量的数量积为核心 由此解决有关向量的模和夹角问题 在字符运算中求向量的模 一般先求模的平方 再转化为向量的平方 然后转化为数量积进行运算 在字