证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案2).doc

不等式的缩放在数列中应用设数列an前n项和为Sn，但Sn难求，1）缩放通项an至bnancn, 且bn,cn易求和，记相应前n项和为Bn, Cn2) 则 BnSn0,ba.0,若，且在0，1上的最大值为，求证：解析: 例12.求证:解析:一方面:(法二) 另一方面:六、二项式放缩 , 例13.设，求证.解析: 观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例14. , 试证明：. 解析: ,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有. 例15. 求证： 简证如下：利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有 例16.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)七、部分放缩(尾式放缩) 例17.求证: 解析: 例18. 设求证： 解析: 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），于是 例19.设数列满足，当时证明对所有 有； 解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 八、数列递推关系放缩 例20. 若,求证: 解析: 所以就有 例21.求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到所以 例22. 求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到 九、函数放缩 例23.求证：. 解析:先构造函数有,从而因为 所以 例24.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,例7.求证:解析:提示:函数构造形式: 例25.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以十、分类放缩 例26.求证: 解析: 例27. 已知函数，若的定义域为1，0，值域也为1，0.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,故当时,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 练习：1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知求证：证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+f（n）n+.证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n ，求证：3证明：=1 =1 () =1123本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：证明 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证： 证明： ， 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。1、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证3、若是自然数，求证证明： = =注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。4、求证：证明：由（是大于2的自然数） 得 5、若a, b, c, dR+，求证：证：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证：证：n 2 n 2时, 7、思路分析：对于学生来说，他们非常清楚证明此题的方向，即先放缩再求和，但是学生的问题就是放缩的误差过大，而不能判断是什么原因导致的误差过大 . 学生解法： 提出以下改进方案 . 方案 1 ：通项放缩不变，减少放缩的项数 尝试 1 ：第一项不放缩，从第二项开始放缩 仍然失败，不过离成功更近了 . 尝试 3 ：前三项不放缩，从第四项开始放缩 终于成功了！ 方案 2 ：减小通项的放缩误差 反思：对于改