离散型随机变量及其分布列一》(新人教选2-3).ppt

离散型随机变量及其分布列 引例 1 抛掷一枚骰子 可能出现的点数有几种情况 2 姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况 3 抛掷一枚硬币 可能出现的结果有几种情况 思考 在上述试验开始之前 你能确定结果是哪一种情况吗 1 2 3 4 5 6 0分 1分 2分 正面向上 反面向上 能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢 分析 不行 虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的所有结果 但在一般情况下 试验的结果是随机出现的 在前面的例子中 我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示 这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化 若把这些数字当做某个变量的取值 则这个变量就叫做随机变量 常用X Y x h来表示 一 随机变量的概念 按照我们的定义 所谓的随机变量 就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系 那么 随机变量与函数有类似的地方吗 思考 随机变量是试验结果与实数的一种对应关系 而函数是实数与实数的一种对应关系 它们都是一种映射 在这两种映射之间 试验结果的范围相当于函数的定义域 随机变量的取值结果相当于函数的值域 所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域 例1 一个袋中装有5个白球和5个黑球 若从中任取3个 则其中所含白球的个数x就是一个随机变量 求x的取值范围 并说明x的不同取值所表示的事件 解 x的取值范围是 0 1 2 3 其中 x 0 表示的事件是 取出0个白球 3个黑球 x 1 表示的事件是 取出1个白球 2个黑球 x 2 表示的事件是 取出2个白球 1个黑球 x 3 表示的事件是 取出3个白球 0个黑球 变题 x 3 在这里又表示什么事件呢 取出的3个球中 白球不超过2个 写出下列各随机变量可能的取值 并说明它们各自所表示的随机试验的结果 练一练 1 从10张已编号的卡片 从1号到10号 中任取1张 被取出的卡片的号数x 2 抛掷两个骰子 所得点数之和Y 3 某城市1天之中发生的火警次数X 4 某品牌的电灯泡的寿命X 5 某林场树木最高达30米 最低是0 5米 则此林场任意一棵树木的高度x x 1 2 3 10 Y 2 3 12 X 0 1 2 3 0 0 5 30 思考 前3个随机变量与最后两个有什么区别 二 随机变量的分类 1 如果可以按一定次序 把随机变量可能取的值一一列出 那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量 如掷骰子的结果 城市每天火警的次数等等 2 若随机变量可以取某个区间内的一切值 那么这样的随机变量叫做连续型随机变量 如灯泡的寿命 树木的高度等等 注意 1 随机变量不止两种 我们只研究离散型随机变量 2 变量离散与否与变量的选取有关 比如 对灯泡的寿命问题 可定义如下离散型随机变量 下列试验的结果能否用离散型随机变量表示 1 已知在从汕头到广州的铁道线上 每隔50米有一个电线铁站 这些电线铁站的编号 2 任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料 其实际量与规定量之差 3 某城市1天之内的温度 4 某车站1小时内旅客流动的人数 5 连续不断地投篮 第一次投中需要的投篮次数 6 在优 良 中 及格 不及格5个等级的测试中 某同学可能取得的等级 练一练 若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数 请把X取不同值的概率填入下表 并求判断下列事件发生的概率是多少 1 X是偶数 2 X 3 探究 解 P X是偶数 P X 2 P X 4 P X 6 P X 3 P X 1 P X 2 三 离散型随机变量的分布列 一般地 若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1 x2 xi xnX取每一个xi i 1 2 n 的概率P X xi Pi 则称表 为离散型随机变量X的概率分布列 简称为X的分布列 有时为了表达简单 也用等式P X xi Pii 1 2 n来表示X的分布列 离散型随机变量的分布列应注意问题 1 分布列的构成 1 列出了离散型随机变量X的所有取值 2 求出了X的每一个取值的概率 2 分布列的性质 例2 在掷一枚图钉的随机试验中 令 如果针尖向上的概率为p 试写出随机变量X的分布列 解 根据分布列的性质 针尖向下的概率是 1 p 于是 随机变量X的分布列是 像上面这样的分布列称为两点分布列 如果随机变量X的分布列为两点分布列 就称X服从两点分布 而称p P X 1 为成功概率 例2 在含有5件次品的100件产品中 任取3件 试求 1 取到的次品数X的分布列 2 至少取到1件次品的概率 解 1 随机变量X的所有可能取值为0 1 2 3 从100件产品中任取3件结果数为 从100件产品中任取3件 其中恰有k件次品的结果为 从100件产品中任取3件 其中恰有k件次品的概率为 例2 在含有5件次品的100件产品中 任取3件 试求 1 取到的次品数X的分布列 2 至少取到1件次品的概率 所以随机变量X的分布列是 2 P X 1 P X 1 P X 2 P X 3 0 14400 或P X 1 1 P X 0 1 0 14400 4 超几何分布 一般地 在含有M件次品的N件产品中 任取n件 其中恰有X件次品数 则事件 X k 发生的概率为 称分布列 为超几何分布列 如果随机变量X的分布列为超几何分布列 则称随机变量X服从超几何分布 例3 袋子中有3个红球 2个白球 1个黑球 这些球除颜色外完全相同 现要从中摸一个球出来 若摸到黑球得1分 摸到白球得0分 摸到红球倒扣1分 试写出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列 解 因为只取1球 所以X的取值只能是1 0 1 从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为 求离散型随机变量分布列的基本步骤 1 确定随机变量的所有可能的值xi 2 求出各取值的概率P X xi pi 3 列出表格 课堂练习 0 3 0 16 P 3 2 1 0 1 2 若随机变量 的分布列如下表所示 则常数a C 课堂练习 0 88 思考 一个口袋有5只同样大小的球 编号分别为1 2 3 4 5 从中同时取出3只 以X表示取出的球最小的号码 求X的分布列 解 因为同时取出3个球 故X的取值只能是1 2 3当X 1时 其他两球可在剩余的4个球中任选故其概率为当X 2时 其他两球的编号在3 4 5中选 故其概率为当X 3时 只可能是3 4 5这种情况 概率为 随机变量X的分布列为 思考 一个口袋有5只同样大小的球 编号分别为1 2 3 4 5 从中同时取出3只 以X表示取出的球最小的号码 求X的分布列 小结 一 随机变量的定义 二 随机变量的分类 三 随机变量的分布列 1 分布列的性质 2 求分布列的步骤 例3 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏 在一个口袋中装有10个红球和20个白球 这些球除颜色外完全相同 一次从中摸出5个球 至少摸到3个红球就中奖 求中奖的概率 解 设摸出红球的个数为X 则X的所有可能值为0 1 2 3 4 5 且X服从超几何分布 一次从中摸出5个球 摸到k k 0 1 2 3 4 5 个红球的概率为 于是中奖的概率 P X 3 P X 3 P X 4 P X 5 例3 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏 在一个口袋中装有10个红球和20个白球 这些球除颜色外完全相同 一次从中摸出5个球 至少摸到3个红球就中奖 求中奖的概率 思考 如果要将这个游戏的中奖概率控制在55 左右 那么应该如何设计中奖规则 分析 这是一个开放性问题 它要求根据中奖概率设计中奖规则 所以问题的答案不唯一 比如用摸球的方法设计游戏 应包括每种颜色的球各是多少 从中取几个球 摸到几个红球才中奖等 也就是说M N n X k 中的k都需要自已给出 因此 我们可以先固定N 30 M 10 n 5 通过调整k达到目的 例3 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏 在一个口袋中装有10个红球和20个白球 这些球除颜色外完全相同 一次从中摸出5个球 至少摸到3个红球就中奖 求中奖的概率 思考 如果要将这个游戏的中奖概率控制在55 左右 那么应该如何设计中奖规则 我们可以先固定N 30 M 10 n 5 通过调整k达到目的 从中摸5个球 至少摸到2个红球的概率为 P X 2 P X 2 P X 3 游戏规则定为至少摸到2个红球就中奖 中奖的概率大约为55 1 练1 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 从中任取3件 若 表示取到次品的个数 求分布列解析 的取值为0 1 2 3 则 练2 2009 上海理 7 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者 若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数 求分布列解析 的可能取值为0 1 2 5 袋中有相同的5个球 其中3个红球 2个黄球 现从中随机且不放回地摸球 每次摸1个 当两种颜色的球都被摸到时 即停止摸球 记随机变量 为此时已摸球的次数 1 随机变量 的概率分布列 2 随机变量 的数学期望与方差 解 1 随机变量 可取的值为2 3 4 所以随机变量 的概率分布列为 根据射手射击所得环数 的分布列 有 例1 某一射手射击所得环数 的分布列如下 求此射手 射击一次命中环数 7 的概率 分析 射击一次命中环数 7 是指互斥事件 7 8 9 10 的和 解 P 7 0 09 P 8 0 28 P 9 0 29 P 10 0 22 所求的概率为 P 7 0 09 0 28 0 29 0 22 0 88 典型例题 例2 随机变量X的分布列为 解 1 由离散型随机变量的分布列的性质有 1 求常数a 2 求P 1 X 4 2 P 1 X 4 P X 2 P X 3 0 12 0 3 0 42 解得 舍 或 课堂练习 1 下列A B C D四个表 其中能成为随机变量的分布列的是 A B C D B 例3 一个口袋里有5只球 编号为1 2 3 4 5 在袋中同时取出3只 以X表示取出的3个球中的最小号码 试写出X的分布列 解 随机变量X的可取值为1 2 3 当X 1时 即取出的三只球中的最小号码为1 则其它两只球只能在编号为2 3 4 5的四只球中任取两只 故有P X 1 3 5 同理可得P X 2 3 10 P X 3 1 10 因此 X的分布列如下表所示 练习 将一枚骰子掷2次 求随机变量两次掷出的最大点数X的概率分布 注 在写出X的分布列后 要及时检查所有的概率之和是否为1 例4一盒中放有大小相同的红 绿 黄色三种小球 红球数是绿球数的两倍 黄球数是绿球数的一半 现从中随机取出一球 若取出红球得1分 取出绿球得0分 取出黄球得 1分 试写出从该盒内随机取出一球所得分数 的分布列 P 1 P 1 所以从该盒中随机取出一球所得分数 的分布列为 解 随机变量X的可取值为1 0 1 设黄球的个数为 则绿球的个数为2 P 0 红球的个数为4 盒中球的个数为7 所以 1 理解离散型随机变量的分布列的意义 会求某些简单的离散型随机变量的分布列 2 掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质 并会用它来解决一些简单问题 会求离散型随机变量的概率分布列 1 找出随机变量 的所有可能的取值 2 求出各取值的概率 3 列成表格 明确随机变量的具体取值所对应的概率事件 例2 一盒中放有大小相同的4个红球 1个绿球 2个黄球 现从该盒中随机取出一个球 若取出红球得1分 取出黄球得0分 取出绿球得 1分 试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列 例如 抛掷两枚骰子 点数之和为 则 可能取的值有 2 3 4 12 的概率分布为 课堂练习 3 设随机变量的分布列如下 求常数K 4 袋中有7个球 其中3个黑球 4个红球 从袋中任取个3球 求取出的红球数的分布列 练习1 随机变量 的分布列为 解 1 由离散型随机变量的分布列的性质有 练习2 已知随机变量的分布列如下 2 1 3 2 1 0 分别求出随机变量 的分布列 1 求常数a 2 求P 1 4 2 P 1 4 P 2 P 3 0 12 0 3 0 42 且相应取值的概率没有变化 练习2 已知随机变量的分布列如下 2 1 3 2 1 0 分别求出随机变量 的分布列 练习2 已知随机变量的分布列如下 2 1 3 2 1 0 分别求出随机变量 的分布列 思考1 一个口袋里有5只球 编号为1 2 3 4 5 在袋中同时取出3只 以 表示取出的3个球中的最小号码 试写出 的分布列 思考2 将一枚骰子掷2次