13.4 课题学习：最短路径问题（第1课时）.4课题学习-最短路径问题ppt课件.ppt

13 4课题学习最短路径问题 人教版八年级上册 古从军行唐朝诗人李欣白日登山望烽火 黄昏饮马傍交河 行人刁斗风沙暗 公主琵琶幽怨多 野营万里无城郭 雨雪纷纷连大漠 胡雁哀鸣夜夜飞 胡儿眼泪双双落 闻道玉门犹被遮 应将性命逐轻车 年年战骨埋荒外 空见葡萄入汉家 13 4课题学习最短路径问题 白日登山望烽火 黄昏饮马傍交河 人教版八年级上册 引言 前面我们研究过一些关于 两点的所有连线中 线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题 我们称它们为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 本节将利用数学知识探究数学史中著名的 将军饮马 问题 情景1 为什么九曲桥要做成弯弯曲曲的 东方明珠上海 老城隍庙九曲桥 东楚明珠黄石 青山湖九曲桥 岭南名郡惠州 西湖九曲桥 相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 情景2 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能运用所学的知识解决这个问题么 思考 1 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 你会选走哪条路最近 你的理由是什么 问题1 问题2 I 两点在一条直线的异侧 已知 如图 点A B在直线l的两侧 在l上求一点P 使得这个点到点AB的距离之和最短 即PA PB最小 问题2 如果两点在一条直线的同侧呢 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 思考1 这是一个实际问题 你打算首先做什么 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 分析思考 思考2 你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 1 从A地出发 到河边l饮马 然后到B地 2 在河边找一点C 连接AC BC 则AC BC就是从A地到饮马地点 再回到B地的路程之和 3 但是在河边饮马的地点有无数个 符合使两条线段长度之和为最短点C在何处呢 设C为直线上的一个动点 上面的问题就转化为 当点C在l的什么位置时 AC CB最小 如图 说明题意 建立数学模型 用数学语言表达题意 类比反思 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 问题1 如何将点B 移 到l的另一侧B 处 满足直线l上的任意一点C 都保持CB与CB 的长度相等 问题2 你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点B 吗 反思构造 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 连接BC 则点C即为所求 思考 你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 如图 在直线l上任取一点P 与点C不重合 连接AP BP B P 由轴对称的性质知 BC B C BP B P AC BC AC B C AB AP BP AP B P 在 AB P中 AB AP B P AC BC AP BP 即AC BC最短 反思一 证明AC BC最短时 为什么要在直线l上任取一点P 与点C不重合 证明AC BC AP BP 这里的 P 的作用是什么 若直线l上任意一点 与点C不重合 与A B两点的距离和都大于AC BC 就说明AC BC最小 反思二 回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 通过构造对称点 借助 两点之间 线段最短 解决问题 典型例题 如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 分层拓展 1 如图 点P在 AOB内部 问如何在射线OA OB上分别找点C D 使PC CD DP之和最小 2 某班要举行元旦晚会 桌子摆成如图所示两直排 图中的AO BO AO桌面上摆满了橘子 OB桌面上摆满了糖果 站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果 然后到D处座位上 请你帮助他设计一条行走路线 使其所走的总路程最短 总结升华 谈谈你的收获 本节课应用的知识点 数学思想