十、多元函数积分及场论初步.doc

十、多元函数积分及场论初步1、重积分及其应用（1）二重积分直角坐标化为先对积分再对积分的累次积分设由，所围成，即：，则：化为先对积分再对积分的累次积分设由，所围成，即：，则：极坐标化为先对积分再对积分的累次积分设由，所围成，即：，则：化为先对积分再对积分的累次积分设由，所围成，即：，则：（2）对称区域上奇、偶函数的二重积分(设在有界闭区域上可积)若关于轴对称(即)，记，则：若关于轴对称(即)，记，则：若关于原点对称(即)，记或，则：（3）三重积分直角坐标先一后二法：设空间可表示成则：先二后一法：设空间介于平面与之间，过轴上区间中任一点作垂直于轴的平面，截得平面区域，即：则：柱面坐标柱面坐标与直角坐标的转换关系：；体积元素：.设区域在柱坐标系中可表示为： ，则：球面坐标球面坐标与直角坐标的转换关系：；体积元素：设区域在球坐标系中可表示为： ，则：（4）重积分的应用面积平面区域面积：设有平面区域，则其面积为：空间曲面面积：设曲面的方程为，且在面上的投影区域为，则曲面的面积为：体积设有物体在面上的投影区域为，其顶、底面的方程分别为：，则的体积为：质量平面薄片：设薄片占有平面区域，面密度为，则其质量为：空间物体：设物体占有空间区域，体密度为，则其质量为：静力矩平面薄片：设薄片占有平面区域，面密度为，则薄片对轴、轴及原点的静力矩分别为：空间物体：设物体占有空间区域，体密度为，则物体对轴、轴、轴及原点的转动惯量分别为：重心平面薄片：设薄片占有平面区域，面密度为，其重心坐标为：空间物体：设物体占有空间区域，体密度为，其重心坐标为：转动惯量平面薄片：设薄片占有平面区域，面密度为，则薄片对轴、轴及原点的转动惯量分别为：空间物体：设物体占有空间区域，体密度为，则物体对轴、轴、轴及原点的转动惯量分别为：对质点的引力平面薄片：设薄片在面上占有平面区域，面密度为，有一质点位于，质量为，则物体对质点的引力为：，其中：其中，为引力系数。空间物体：设物体占有空间区域，体密度为，有一质点位于，质量为，则物体对质点的引力为：，其中：其中，为引力系数。2、曲线积分及其应用（1）关于曲线积分的概念对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)：，其中表示曲线小弧段的长度，恒为正。对弧长的曲线积分可表示密度为的物质曲线弧的质量。对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)：，其中、表示曲线小弧段在坐标轴上的投影，可正可负，其正负与曲线的方向有关。对坐标的曲线积分可表示为力沿曲线所作的功。（2）关于曲线积分的特殊性质对弧长的曲线积分与定积分、重积分有完全相同的性质，应注意是是曲线上的点，应满足的方程。对坐标的曲线积分除了与对弧长的曲线积分有共同的性质外，更有性质：（3）两类曲线积分的关系设有向量，而为有向曲线上点处的单位切向量，则有，于是：或：（4）曲线积分的计算对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分均可按不同形式的曲线方程，通过“三替换”步骤化为定积分：对弧长的曲线积分：设光滑曲线由参数方程 ()给出，连续且不同时为零(即)，则：分别用，替换中的，；用替换；用的取值区间替换；于是有：特别地：1。若曲线的方程由()给出，则：2。若曲线的方程由()给出，则：3。若曲线的方程以极坐标形式()给出，则：对坐标的曲线积分：设有向曲线由参数方程给出(其中,分别对应于有向曲线的起点、终点的参数值)，连续且不同时为零(即)，则：分别用，替换中的，；用替换，用替换；用替换的起点、终点；于是有：特别地：1。若曲线的方程由给出，则：(其中，分别为起点、终点处的值)2。若曲线的方程由给出，则：(其中，分别为起点、终点处的值)（5）曲线积分的应用几何上的应用曲线段的弧长：面上正向闭曲线所围成的闭区域的面积：有界柱面的侧面积：(其中为柱面上顶的曲面方程，为柱面在面上的准线)物理上的应用设空间物质曲线段上任意点处的线密度为，则：质量：质心坐标：3、格林公式曲线积分与路径无关（1）格林定理设有界闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有格林公式：(其中曲线为有界闭区域的取正向的边界曲线)。平面上曲线积分与路径无关的条件设在单连通区域上有连续偏导数，则下面四个命题等价：在区域内成立；设曲线是区域内任一简单闭曲线，有：；存在二元函数，使得：(此时称为的原函数)曲线积分与路径无关：(其中分别为曲线的起点和终点的坐标值。)（2）求原函数问题设函数在单连通区域上有连续偏导数，而为全微分(即)，则求原函数的方法有三种：线积分法：在中任取一定点，则对任意有：因积分与路径无关，故可视的特点，选择适当路径进行积分。偏微分法：由知，再两边对求导，由，再用积分求出。凑全微分法：这种方法要求对微分及其运算十分熟悉。4、曲面积分及其应用（1）关于曲面积分的概念对面积的曲面积分(第一类曲面积分)：，其中表示小片曲面的面积，恒为正值。对面积的曲面积分可表示密度为的物质曲面的质量。对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)： ，其中表示小片曲面在三个坐标面上的投影，可正可负，其正负与曲面所取的侧有关。对坐标的曲面积分则可表示稳定流动且不可压缩的流体在单位时间内流过曲面指定侧的流体质量，且其密度，流速 。（2）关于曲面积分的特殊性质两类曲面积分中被积函数均定义在曲面上，且当其在上连续时，曲面积分必定存在。曲面积分的性质分别与对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的性质相同。如对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，即：（3）两类曲面积分的关系设有向量，而为有向曲面上点处单位外法向量，则有：或：（4）曲线积分的计算由于两类曲面积分中，变量受曲面的方程的约束(即点满足的方程)，被积函数可通过的方程转化为二元函数，从而曲面积分可化为二重积分来计算。对面积的曲面积分设曲面由方程给出，在面上的投影区域为，具有连续偏导数，被积函数在曲面上连续，则：特别地，1。若曲面由方程给出，则：2。若曲面由方程给出，则：对坐标的曲面积分设是方程所确定曲面的上侧，在面的投影区域为，在上具有连续偏导数，被积函数在曲面上连续，则：特别地，1。若是方程所确定曲面的前侧，则：2。若是方程所确定曲面的右侧，则：（5）对称积分区域上的第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)设光滑定向曲面关于平面对称，曲面在平面上方部分记为(设其方程为)，在平面下方部分记为。又设函数在上连续。则有：（6）曲面积分的应用几何上的应用曲面面积： 物理上的应用对面积的曲面积分求解质量、质心和转动惯量及引力与重积分、线积分是一样的；对坐标的曲面积分可求解通过曲面的流量等问题。5、高斯公式斯托克斯公式（1）高斯公式若函数及其一阶偏导数在空间有界闭区域及其边界曲面上连续，且是分片光滑曲面的外侧，则有高斯公式：其向量形式为： 或 （2）斯托克斯公式设函数及其一阶偏导数在单连通空间区域内连续，是内的曲面(即)，它的边界是按段光滑的闭曲线，的法线方向与的方向符合右手法则，则有斯托克斯公式：或：其向量形式为： 或 6、场论初步（1）梯度与方向导数梯度：设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，向量称为函数在点处的梯度。梯度的方向由低值指向高值。方向导数：若函数在点是可微分的，则函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有：(其中，为方向上的单位矢量，是方向的方向角。)方向导数与梯度的关系：梯度的方向是函数在该点增长得最快的方向，即沿梯度方向的方向导数达到最大值。或者说，是在方向上的投影。（2）散度与通量散度：设有向量场，则场内一点的散度为： .通量：设有向量场，是向量场内一片有向曲面，是上点处的单位法向量，则称向量场通过有向曲面向指定侧(即所指的方向)的通量(或流量)为： 或：其向量形式为： 或 (其中，为有向曲面上点处的单位法向量。)（3）旋度与环流量旋度：设有向量场，则场内一点的旋度为：=环流量：设有向量场，是一条有向闭曲线，是有向闭曲线所张成的有向曲面，是曲面上点处的单位法向量，则称向量场的旋度场通过曲面的通量为向量场沿有向闭曲线的环流量，即：或：其向量形式为： 或 (其中，=为在有向曲面的单位法向量上的投影，且的方向与闭曲线的方向符合右手定则；而为向量在有向闭曲线的单位切向量上的投影。)（4）数量场与向量场数量场：如果对于空间区域内任一点，都有一个确定的数量，则称在此空间区域内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)。一个数量场可用一个数量函数来确定。向量场：如果与空间区域内任一点相对应的是一个向量，则称在此空间区