2018版高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法学案北师大版.docx

2.22函数的表示法1掌握函数常用的三种表示法(重点)2能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点3理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题(难点)基础初探教材整理 1函数的表示法阅读教材P28P29“例2”以上内容，完成下列问题某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是()【解析】刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.【答案】A教材整理 2分段函数阅读教材P29“例2”P31，完成下列问题在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的图像一定是连续不断的曲线()(2)函数的解析式是唯一的()(3)分段函数是由多个函数组成的()(4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集()【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型函数图像的作法作出下列函数的图像(1)y1x(xZ)；(2)y2x24x3(0x3)【精彩点拨】(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响【尝试解答】(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y1x上(xZ，yZ)，这些点都为整数点，如图所示为函数图像的一部分；(2)0x3，这个函数的图像是抛物线y2x24x3介于0x3之间的一段曲线，且y2x24x32(x1)25，当x0时，y3；当x3时，y3，如图所示1图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像来作图2作图像时，应标出某些关键点例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点再练一题1作出下列函数的图像(1)y1，x1,2,3,4,5；(2)y 【导学号：04100018】【解】(1)函数y1，x1,2,3,4,5是由，(2,2)，(4,3)，五个孤立的点构成，如图：(2)函数的图像如图：求函数解析式求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)9x4，求f(x)的解析式；(2)已知f(1)x2，求f(x)；(3)已知2ff(x)x(x0)，求f(x)【精彩点拨】(1)可设f(x)kxb(k0)，再根据题设列方程组，求待定系数k，b.(2)在“x2”中凑出“1”或将“1”整体换元来求解(3)将f，f(x)看成未知数，通过解方程组求f(x)【尝试解答】(1)设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k(kxb)bk2xkbb9x4.解得k3，b1或k3，b2.f(x)3x1或f(x)3x2.(2)法一(配凑法)：f(1)x2(1)21(11)，f(x)x21(x1)法二(换元法)：令1t(t1)，则x(t1)2(t1)，f(t)(t1)22t21(t1)f(x)x21(x1)(3)f(x)2fx，令x取的值，得f2f(x).于是得关于f(x)与f的方程组解得f(x)(x0)函数解析式的求法：(1)待定系数法：设出所求函数含有待定系数的解析式如一次函数解析式设为f(x)axb(a0)；反比例函数解析式设为f(x)(k0)；二次函数解析式可根据条件设为a.一般式：f(x)ax2bxc(a0)b.顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)c.双根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组解方程或方程组，得到待定系数的值将所求待定系数的值代回原式(2)换元法：已知fg(x)是关于x的函数，即fg(x)F(x)，求F(x)的解析式，通常令g(x)t，由此能解出xe(t)，将xe(t)代入fg(x)F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得F(x)的解析式如本例(2)的法二(3)配凑法：此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x代替“自变量”，即得所求函数解析式如本例(2)的法一(4)消元法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)再练一题2求下列函数的解析式：(1)已知f，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)1，f(x1)f(x)2x2，求f(x)；(3)已知af(x)f(x)bx，其中a1，求f(x)【解】(1)法一：(换元法)令t1，则t1.把x代入f，得f(t)(t1)21(t1)t2t1.所求函数的解析式为f(x)x2x1，x(，1)(1，)法二：(配凑法)f221，f(x)x2x1.又11，所求函数的解析式为f(x)x2x1(x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)cax2bxc2axab2x2，解得a1，b1，c1，f(x)x2x1.(3)在原式中以x替换x，得af(x)f(x)bx，于是得消去f(x)，得f(x).故f(x)的解析式为f(x)x.探究共研型分段函数探究 1画出函数y|x|的图像，并求f(3)，f(3)，f(1)，f(1)的值【提示】由绝对值的概念，有y所以，图像y|x|的图像为过原点且平分第一、第二象限的两条射线，如图所示其中f(3)3，f(3)3，f(1)1，f(1)1.探究 2设函数f(x)若f(a)4，则实数a等于多少？【提示】当a0时，f(a)a.f(a)4，a4，a4.当a0时，f(a)a2.f(a)4，a24，a2，或a2(舍去)综上a4或2.探究 3国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表信函质量(m)/g0m2020m4040m6060m8080m100邮资(M)/元1.202.403.604.806.00画出图像，并写出函数的解析式【提示】邮资是信函质量的函数，函数图像如图函数的解析式为M如图222所示，从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数，并求出其定义域图222【精彩点拨】可由题意将长方体底面正方形的边长和高度表示出来，但要注意定义域x不但受解析式的影响，还受t的限制【尝试解答】依题意知，长方体铁盒高为x，底面正方形的边长为(2a2x)，则V(2a2x)2x4x(ax)2.a0，0x.铁盒容积V4x(ax)2，定义域为.此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.再练一题3某质点在30 s内运动速度v是时间t的函数，它的图像如图223，用解析法表示出这个函数，并求出9 s时质点的速度图223【解】速度是时间的函数，解析式为v(t)由上式可得，t9 s时，质点的速度v(9)3927(cm/s).1. 如图，函数y|x1|的图像是()【解析】y|x1|【答案】A2. 设函数f(x)，则ff(3)等于()A.B3C.D.【解析】f(3)，ff(3)21.【答案】D3. 已知函数f(x)由下表给出：x1234f(x)3210则f(3)_.【解析】由数表可知f(3)1.【答案】13. 已知f(x21)x4x21，则f(x)_.【解析】因为f(x21)x4x21(x21)2(x21)1，所以f(x)x2x1(x1)【答案】x2x1(x1)4. 如图224，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于_. 【导学号：04100019】图224【解析】由函数f(x)图像，知f(1)2，f(3)1，ff(1)2.【答案】25. 已知函数y|x1|x2|.(1)作出函数的图像