高一数学 2.3 幂函数课件 新人教A版必修1.ppt

学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 1 一般地 函数y xa叫做 其中x是自变量 a是常数 2 幂函数y xa具有下面性质 1 所有的幂函数在区间上都有定义 并且函数图象都通过点 2 如果a 0 则幂函数的图象都通过点 并且在区间上是增函数 3 如果a 0 则幂函数在区间上是减函数 当x从右边趋向于时 图象在y轴右方无限地逼近 当x趋向于 时 图象在x轴上方无限地逼近轴 幂函数 0 1 1 0 0 0 0 y轴 y轴 x 3 在如图所示的幂函数图象中 幂函数 中 的取值范围分别为 4 要作出幂函数在其他象限的图象 可由函数在第一象限的形状及函数的作出 0 1 0 1 奇偶性 学点一幂函数的定义 已知函数y a2 3a 2 a为常数 1 当a为何值时 此函数为幂函数 2 当a为何值时 此函数为正比例函数 3 当a为何值时 此函数为反比例函数 分析 根据幂函数 正比例函数 反比例函数的定义可求 解析 1 由题意得a2 3a 2 1 即a2 3a 1 0 a 2 由题意得a2 5a 5 1a2 3a 2 0 3 由题意得a2 5a 5 1a2 3a 2 0 评析 正确理解幂函数与以往所学函数的关系 有利于温故知新 已知幂函数f x k z 为偶函数 且在区间 0 上是增函数 求函数f x 的解析式 由已知 0 即k2 2k 3 0 1 k 3 又 k z k 0 1 2 当k 0时 f x 不是偶函数 当k 1时 f x x2是偶函数 当k 2时 f x 不是偶函数 f x x2 学点二比较大小 比较下列各组数的大小 1 和 2 和 3 和 分析 依据幂函数的图象和性质比较大小 解析 1 函数y 3在 0 上为减函数 又3 3 1 所以 2 函数y 在 0 上为增函数 又因为 则 从而 3 函数y 在 0 上为减函数 又因为 所以 评析 比较大小题要综合考虑函数的性质 特别是单调性的应用 更要善于运用 搭桥法 进行分组 常数0和1是常用的参数 比较大小 1 2 与 3 a 1 与 其中a b 0 4 1 且 1 6 3 6 2 与实际上是幂函数y x在x 6 3与x 6 2的函数值 根据幂函数的性质知函数y x x 0 是增函数 即 6 3 6 2 6 3 6 2 学点三奇偶性的判定 分析 判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义 判断下列函数的奇偶性 4 f x 的定义域为 x x 0 定义域不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 5 f x f x 的定义域为 0 f x 为非奇非偶函数 评析 一般先将函数式化成正指数幂或根式形式 确定定义域 再用定义判断奇偶性 也可通过图象特征来判断 1 y x 0 定义域 0 不关于原点对称 为非奇非偶函数 2 y x 0 定义域 0 不关于原点对称 为非奇非偶函数 3 y x r 满足f x f x f x 为r上的偶函数 学点四幂函数的单调性 证明 幂函数f x 在 0 上是增函数 分析 由函数单调性定义作出证明 证明 任取x1 x2 0 且x10 所以f x1 f x2 即幂函数f x x在 0 上是增函数 评析 在证明函数的单调性时 既可以用作差的方法 也可以用作商的方法 都可以证明函数f x x在 0 上是增函数 已知函数f x xm 且f 4 1 求m的值 2 判断f x 在 0 上的单调性 1 f 4 4m 72 即4m 4 m 1 f x x 2 任取x1 x2 0 且x10 x1x2 0 f x1 f x2 0 即函数f x 在 0 上单调递减 学点五幂函数的简单应用 1 已知 0 71 3 mx 求x的取值范围 分析 根据幂函数图象 单调性比较大小 解析 1 根据幂函数y x1 3的图象知当01时 y 1 1 30 7 1 于是有0 71 30时 随着x增大 函数值也增大 m 0 2 函数y x与y x的定义域都是r y x的图象分布在第一 二象限 y x的图象分布在第一 三象限 当x 0 时 x x 当x 0时 显然不合题意 当x 0 时 x 0 x 0 x 1 x 1 即x 1时 x x 综上所述 满足条件的x的取值范围为 x x1 评析 由幂函数不等式求变量范围 实质上仍是对图象与单调性的考查 已知幂函数y m n 的图象关于y轴对称 且在 0 上 函数值随x的增大而减小 求满足的a的取值范围 1 学习幂函数时 应注意什么问题 1 并不是任意的一次函数 二次函数都是幂函数 如y x 1 y x2 2x都不是幂函数 2 求幂函数的定义域时 可分四种情况 一是 为正整数 二是 为正分数 三是 为负整数 四是 为负分数 2 如何更好地掌握幂函数的图象与性质 要想更好地掌握幂函数的图象与性质 首先必须熟练地掌握幂函数在第一象限的图象与性质 其次掌握幂函数的奇偶性 这样幂函数的图象由对称性即可确定其完整图形 则其性质即可由图象得到 1 把握好幂函数定义的结构特点幂函数定义仍是结构定义 其特点是x 的系数为1 底数是自变量x的系数为1的单项式 2 幂函数定义域的求法幂函数的定义域随着 取值不同而不同 若遇到分数指数型幂函数 应先化为根式 再由根式性质求定义域 3 幂函数图象凸凹性 1 当 1时 在第一象限为下凹的 2 当0 1时 在