数学欣赏.ppt

数学也很有趣 引子 题外话 达 芬奇密码 整个的陷阱可以说是一个数学和哲学的双重陷阱 书中的整个逻辑过程对一个热爱数学和古代希腊哲学的人来说完全是很普通的事情 没有更多的神秘之处 然而 对一般人来说 这些引人入胜的巧合足以令人感到深不可测 我们总是对自己不了解的东西感到神秘 而数学会解释这些神秘 变成美丽的数学符号 或是其他 比如说 这个其貌不扬的希腊字母引起了生物学家 画家 音乐家 历史学家 建筑家乃至神秘主义者的关注 从远古到现在 对它的探索从未停止 这就是数学的魅力 一切科学起源于 依赖于数学 毕达哥拉斯学派 五角星之谜 毕达哥拉斯是古希腊的数学家和哲学家 他的大批追随者被称为毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯的伟大贡献之一是毕达哥拉斯定理 我们叫做勾股定理 趣味数学中有关于这个定理的诸多证明方法 现在也仍然在继续 他们认为这个世界是一个有理数的世界 毕达哥拉斯学派的标志是一个五角星 然而 问题出现了 正是从这五角星里产生了无理数 在右边的正五边形中 将所有顶点用对角线连接可以得到一个五角星 五角星中央是一个小的正五边形 同样连接对角线可以得到一个更小的五角星 这个过程可以无限进行下去 应该注意到 柏拉图立体 柏拉图是古希腊思想家 天体物理学家 或者 也可以称为几何学家 柏拉图是毕达哥拉斯学派人士的学生 柏拉图非常偏爱几何 在他的学校入口题着一行字 不懂几何者勿入我门 柏拉图曾经对宇宙的起源和运动过程作了大量讨论和研究 他试图用五个多面体来解释物质的结构 但就数学而言 这些立体与黄金比例关系匪浅 现在看来颇觉可笑 事实上当我们发现黄金比例与世界有如此的关联之后 这完全是可以理解的 他的传世名言 上帝是一位几何学家 土 火 空气 水 欧几里德的极限中间比 欧几里德是亚历山大城亚历山大学院的第一批教师 数学教师 欧几里德可能不是最伟大的数学家 但他的 几何原本 绝对是世界上最伟大和影响最广的数学教材之一 一直被原封不动地使用到十九世纪中叶 我们知道 那个时候建立在微积分一类现代数学基础上的解析几何正蓬勃发展 几何原本 有这样一个简单的几何问题 是一个分线段的问题 将一条线段按极限中间比分割后 这时整条线段和较长部分的比值等于较长部分和较短部分的比值 我们可以通过一个方程来解决这个问题 设BC 1 AC 则 即 解得 因此 极限中间比为也就是黄金比例 我们的黄金比例 不管怎么说 首先是一个极其有趣的数字 由此出发 的倒数 的平方 无限平方根 设若 那么 无限连分式 设 由于这个连分数的无穷性 我们可以得到等式 这又是一个定义黄金比例的式子 右边的根式是同样的无穷根式 因此我们有 也就是说 黄金矩形 在任意一对母子长方形上各画一条对角线 它们将在一点交叉 弧DE是以DF为半径的四分之一圆弧 同样的 将所有正方形的内切四分之一圆弧连接起来形成的螺旋我们称为对数螺旋 这一螺旋会无限接近对角线的交点但是永远不能到达 无限缩小的黄金矩形也逐渐会聚向这一点但是永远也不能到达 这一点被称为 上帝之眼 黄金矩形 矩形ABCD边AB与边AD之比符合黄金比例 从中切去正方形AEFD 得到的EBCF是一个新的黄金矩形 与原矩形对应边比例恰为 这个过程可以无限进行下去 斐波纳契及斐波纳契数列之一关于兔子繁殖的问题 斐波纳契数列之起源 关于兔子繁殖的问题 将一对兔子放进一个四周都是墙的地方 假定一对兔子每月生一对小兔 新生的小兔子过两个月之后又开始生小兔子 那么一年之后这墙内应该有多少对兔子 理想数学状况下 每对兔子均能按期正常生殖 保持健康 斐波纳契是中世纪的意大利数学家 他引进了阿拉伯数字及其运算法则来代替复杂的罗马数字 斐波纳契在他的 算盘书 中给出了许多实际问题的解决办法 由于家庭影响 他相对注重实用性 关于兔子繁殖的问题 关于兔子繁殖的问题 某月大兔子的数目等与上月大兔子的数目加上在这个月成熟的上月小兔子数目 上月小兔子的数目恰好为上上个月大兔子的数目 因此 任何一个月里大兔子的数目恰好是本月前两个月大兔子数目的和 这个数目符合如下数列 1 1 2 3 5 8 13 每月小兔子数目恰好为上个月大兔子的数目 除去第一个月的数字之外 从第二个月起 它符合大兔子数目的序列 1 1 2 3 5 8 13 这两个数列 除前两项之外每一项都等于前两项的和 被称为斐波纳契数列 因此 任何一月墙内兔子数目应该为 1 2 3 5 8 13 21 爬楼梯问题 一个孩子要爬楼梯 他每次最多爬两阶 如果有n阶台阶 那么他有多少种方法可以爬上楼梯 n 1时有一种方法 1 1 n 2时有两种方法 2 11 2 n 3时有三种方法 3 111 12 21 n 4时有五种方法 5 1111 112 121 211 22 n 5时有八种方法 8 11111 1112 1121 1211 2111 122 212 221 依次往下我们发现这些可能的数字 恰好会构成斐波纳契数列 雄蜂的家谱 蜂巢中有蜂王 工蜂 雄蜂 前两者是雌性 由蜂王的受精卵孵化而来 而雄蜂则是由蜂王的未受精卵孵化来的 因此 雌蜂有父亲和母亲 而雄蜂却只有母亲 从图上看 任何一只雄蜂有一个父母 母亲 两个祖父母 母亲的父母 三个曾祖父母 祖母的父母和祖父的母亲 家谱中每一代亲族的数字构成一个斐波纳契数列 1 1 2 3 5 8 13 数学魔术 给出一个斐波纳契数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 数列中前n项和为第n 2项减去1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 232 233 1 数列中任何十个连续数字的和都等于11与第七个数字的乘积 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 144 11 1584 将数列中相邻数字的乘积相加 所得结果恰为最后一个数字的平方 1 1 1 2 2 3 3 5 5 8 8 13 169 13 13 任取数列中四个相邻数字 如1 2 3 5 外面两个数字的乘积1 5 5 里面数字积的两倍2 2 3 12 以及里面数字平方的和2 2 3 3 13 恰好组成勾股定理数组 数学魔术 给出一个斐波纳契数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 数列中任何一项的平方与其相邻两项的乘积之相差1 3 3 2 5 1 13 13 8 21 1 巧合的是 数列中最后一个数字以60为周期重复 第14个数字377以7结尾 第74个1304969544928657也以7结尾 电脑计算可以发现最后两位数的周期为300 后三位是1500 后四位是15000 后五位是150000 后六位是1500000 有什么规律 更加巧合的是 斐波纳契数列的通项公式在它被提出六百多年后被发现了 叫做比内公式 因此当n很大的时候 这个公式可以近似的取做 斐波纳契与黄金比例 我们看一下斐波纳契数列1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 中连续两个数字之间的比率 1 1 1 0000002 1 2 0000003 2 1 5000005 3 1 6666678 5 1 60000013 8 1 62500021 13 1 61538534 21 1 61904855 34 1 61764789 55 1 618182144 89 1 617978233 144 1 618056377 233 1 618026610 377 1 618037987 610 1 618033 联系前面表示黄金比例的连分式 1 1 000000 毫无疑问的 越往后我们会发现这个比例越来越接近黄金比例 利用极限的知识我们可以证明 只要一个数列符合任一项为前面两项之和 这个数列就满足这一性质 关于我们本身 肚脐是人体的黄金分割点 而咽喉则是上肢的黄金分割点 量一下肩膀到指尖的距离 用它除以肘关节到指尖的距离 用臀部到地面的距离除以膝盖到地面的距离 到处都是黄金比例 如果不太严格的讲 人体至少能找出18个 黄金点 15个 黄金矩形 6个 黄金指数 3个 黄金三角 生活中人们最舒适的环境温度为22 24 也源于体温36 37 与0 618的乘积恰好是22 4 22 8 DNA分子的每个微观双螺旋结构都是以长34个埃与宽21个埃之比组成的 34和21是斐波那契系列中的数字 它们的比率为1 6190476 达 芬奇与帕奇欧里交往甚密 帕奇欧里是意大利中世纪数学家 写了一本书名为 神圣比例 主要是关于黄金比例与几何学 达 芬奇为此书画了插图 包括那些美丽的柏拉图立体 达 芬奇的 画论 开头就说 非数学家不得读此作品 蒙娜丽莎 科学家达 芬奇 萨尔瓦多 达利 最后的晚餐 圣热罗尼莫 让我们惊讶的事实之绘画 黄金乐曲 在西方一般认为毕达哥拉斯发现了音程 音调和琴弦长度的关系 让数学和音乐联系在了一起 在中世纪 音乐甚至是数学课程的一部分 哲学家和音乐家认为 天体在规则的运动中创造和谐的音乐 并用数学完美表达出来 天体音乐 小提琴的共鸣箱每边有12根或是更多的弧形曲线 而最底部的弓形通常在这些线条的黄金分割点上 钢琴键盘上一个八度音阶包括13个键 8个白键和5个黑键 而5个黑键又分两组 一组3个 一组2个 奏鸣曲一般分为两部分 呈示部 展开和再现部 虽然作曲家可能是无意识的 但是莫扎特的钢琴奏鸣曲中 组成展开和再现部与呈示部的小节数比例为1 62 与黄金比例相当接近 数字的金字塔 古希腊历史学家希罗多德提到过 金字塔在建筑时考虑到每一面的面积等于以金字塔高度为边的正方形的面积 设SE为金字塔侧面三角形的高 SO为金字塔的高度 我们能很容易的算出 而实际测量的结果是这个比值为1 619 非常接近黄金比例 无所不在的黄金比例 埃菲尔铁塔 世界七大奇迹之一的帕特农神庙 现代数学中的由来是帕特农神庙中雅典娜雕像的作者菲迪亚斯 不可思议 梅花的花瓣是5枚 像桃 李 樱 杏 苹果 梨等与梅同属蔷薇科的都是5瓣花 常见的花瓣还有 鸢尾花 百合花是3枚 飞燕草是8枚 瓜叶菊是13枚 向日葵有的是21枚 有的是34枚 雏菊的花瓣有的是34枚 55枚或89枚 而其它数目的花瓣的花则很少 而这些花瓣数正好就是 斐波纳契数列 当中的 斐波纳契数 有一种叫着 喷嚏麦 的花草 新的一枝从叶腋长出 而另外的新枝又从旧枝长出来 这种花草老叶片和新叶片的数目就像兔子问题一样 神圣比例 将相邻的叶子连接起来形成一个螺旋 连接枝干与叶片的那些线之间的角度恰为 恰好是 向日葵中 顺时针和逆时针螺旋的数目比最常见的是55 34 也有89 55 144 89 甚至233 144 相似的植物 比如螺旋草 松果 计算机绘制的斐波纳契螺旋 就是这个对数螺旋 向日葵中有 鹦鹉螺中有 太空的星系中有 是可怕的漩涡和飓风 也是猎鹰在捕获猎物时的飞翔轨迹 如果根据完全只根据牛顿运动定律 地球的运动轨迹将是一个对数螺旋 很久以后 地球要么朝太阳飞去 要么就飞向太空 曾有一位学者耐心地数过一朵花 它刚好有157瓣 不符合斐波纳契数列 但他却发现其中有13瓣与其它的144瓣有明显的不同 这13与144又符合这个数列的数 这究竟是什么原因 至今仍是不解之谜 由于以上的 以及更多没有被列举出来不可思议的事实 黄金比例被称为 上帝之数 也正因此 哲学家对它极为钟爱 古代古代数学家欧几里德 毕达哥拉斯 柏拉图 墨子 老子 几乎都是哲学家 同时爱好音乐或者绘画等艺术 他们赋予了数学更多的哲学思考与美感 数学始终与哲学在一起 苏格拉底在地上画了两个圆 一大一小 分别代表他和他学生的学识 他说 知道得越少 未知的也就越少 知道得越多 才会发现自己未知的也就越多 苏格拉底说 我唯一能确信我所知道的 是我一无所知 在今天提到的与黄金比例和斐波纳契相关的这些数学家 都是谦虚 勤奋好学的 我们为什么学习数学 数学是自然之源 唯有它能如此奇妙而精准的表达世界 一分一毫也不差 通常认为物理是自然规律 但是 物理的发现和表达都依赖于数学 数学能