高中数学第一章解三角形1.2应用举例单元检测新人教A版必修5.docx

应用举例(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1某次测量中，A在B的北偏东55，则B在A的()A北偏西35 B北偏东55 C南偏西35 D南偏西552在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于()A. B. C.或 D.或3在一座20 m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为()A20 m B20(1) m C10() m D20() m4某人向正东方向走了x km后向右转了150，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 km，那么x的值为()A. B2 C2或 D35在ABC中，若cos B，2，且SABC，则b等于()A4 B3 C2 D16有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A5 B10 C10 D107.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为()A(3030) m B(3015) mC(1530) m D(153) m8.解放军某部举行实弹演习，其中炮兵阵地位于地面A处，两观测点分别位于地面C处和D处，已知CD6 000 m，ACD45，ADC75，目标出现于地面B处时，测得BCD30，BDC15，则炮兵阵地到目标B的距离是()A5 000 m B6 000 mC1 000 m D1 000 m9.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待救援信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20 n mile C处的乙船，乙船立即沿直线CB前往救援，则sinACB()A. B.C. D.10.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船每小时航行()A10海里 B20海里 C30海里 D30海里11从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60，从电视塔的西偏南30的B处，测得塔顶的仰角为45，若A，B间的距离为35 m，则此电视塔的高度为()A5 m B6 m C8 m D10 m12如图，在四边形ABCD中，已知BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()A. B5C6 D7题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_14一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30和45，则这个海岛的宽度为_15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ，3，则ABC的面积为_16某小区的绿化地有一个三角形的花圃区，若该三角形的三个顶点分别用A，B，C表示，其对边分别为a，b，c，且满足(2bc)cos Aacos C0，则在A处望B处和C处所成的视角为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60，若此军舰不改变航行的方向继续前进，问此军舰有没有触礁的危险？18.(本小题满分12分)在ABC中，ab10，cos C是方程2x23x20的一个根，求ABC周长的最小值19(本小题满分12分)某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60和45，又知AB的长为40 m，斜坡与水平面成30角，则该转播塔的高度是多少米？20(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C.(1)求sin的值；(2)若1，ab，求边c的值及ABC的面积21(本小题满分12分)如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交送给这辆汽车的司机(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)在(1)的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角22(本小题满分12分)某棚户区改造建筑用地区域近似为半径为R的圆面，其平面示意图如图所示该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知ABAD40 km，BC60 km，CD20 km.请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值参考答案与解析1【解析】选D.如图，A在B的北偏东55，则B在A的南偏西55.2【解析】选D.由余弦定理得，13BC22BCcos 30，即BC23BC20，所以BC2或BC1，所以SABC2sin 30或SABC1sin 30.3.【解析】选B.如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线依题意，AB20，DAM45，CAM60，所以MD20，AM20，CM20，CD20(1) m.4【解析】选C.如图ABx km，BC3 km，AC km，ABC18015030，所以AC2AB2BC22ABBCcos 30即3x292x3，所以x23x60，解得x2或x.5【解析】选C.因为2，所以c2a.因为cos B所以sin B，又因为SABCacsin Ba2，所以a21，即a1，c2，所以b2a2c22accos B14224，所以b2.6【解析】选C.如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30，在ABB中，利用正弦定理可求得BB的长度在ABB中，B30，BAB753045，AB10 m，由正弦定理，得BB10(m)所以坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.7【解析】选A.由正弦定理可得，PB，hPBsin 45(3030) m.8【解析】选C.在ACD中，易求得CAD60.又因为CD6 000，ACD45，由正弦定理有：ADCD；同理，在BCD中，易求得CBD135.由正弦定理得，BDCD；又在ABD中，易知ADB90，所以AB CDCD1 000(m)9【解析】选A.在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC20，由正弦定理，得sinACBsinBAC.10导学号99570019【解析】选D.如图，连接A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A23010A2B2，所以A1A2B2为正三角形，所以A1B210.在A1B1B2中，易知B1A1B245，所以B1B40020022010200，所以B1B210，所以乙船每小时航行30海里11【解析】选A.如图，在AOC中，OCOAtan 60OAOC，又在BOC中，OBOC，在AOB中，AB35 m，AOB18030150，由余弦定理，得AB2AO2BO22AOBOcosAOB，即352OC2OC2OC2OC5 m，故选A.12【解析】选B.连接BD(图略)，在BCD中，由余弦定理可得BD22222222cos 12012，即BD2.因为BCCD，所以CBD30.所以ABD90，即ABD为直角三角形故S四边形ABCDSBCDSABD22sin 1204245.13 【解析】如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x cm.【答案】 cm14【解析】如图所示，飞机位于海平面的B点上方8 000 m的A处，测得海岛两侧海岸CD的俯角分别为EAD30，EAC45，所以ACD135，ADC30，AB8 000 m，ABCD，所以AD2AB16 000 m，由正弦定理得.所以CD8 000(1) m.【答案】8 000(1) m15【解析】因为cos A2cos21，所以sin A.又3，则bccos A3，所以bc5.因此，ABC的面积Sbcsin A2.【答案】216【解析】在ABC中，(2bc)cos Aacos C0，结合正弦定理得2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos C0，即2sin Bcos Asin(AC)0，即2sin Bcos Asin B0.又因为A，B(0，)，所以sin B0，所以cos A，所以A，即在A处望B处和C处所成的视角为.【答案】17【解】过点B作BDAE于点D，由已知，AC8，ABD75，在ABD中，ADBDtan 75；在CBD中，CDBDtan 60，而ADCDAC，所以BD(tan 75tan 60)8.BD43.8，所以该军舰没有触礁危险18【解】因为2x23x20的根为x12，x2，cos C是方程2x23x20的一个根，所以cos C，由余弦定理可得：c2a2b22ab(ab)2ab，所以c2100a(10a)(a5)275，当a5时，c最小且c5，此时abc105，所以ABC周长的最小值为105.19【解】如图，根据题意可得，ABC453015，DAC603030，所以BAC150，ACB15.所以ACAB40 m.在ADC中，BDC120，由正弦定理得，所以CD(m)，即转播塔的高度是 m.20【解】(1)由sin2Ccos2C1，cos C，C(0，)，得sin C.则sinsin Ccoscos Csin.(2)因为|cos C1，则ab5.又ab.所以a2b2(ab)22ab27.所以c2a2b22abcos C25，则c5.所以SABCabsin C.21.【解】(1)如图，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t h后与汽车在C处相遇，在ABC中，AB500，AC100t，BCvt，BD为AC边上的高，BD300.设BAC，则sin ，cos .由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos ，所以v2t2(100t)250022500100t.整理，得v210 000250 00010 000250 0003 600.当，即t时，v3 600，vmin60(km/h)，即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中(2)当v60 km/h时，在ABC中，AB500，AC100625，BC60375，由余弦定理，得cosABC0，所以ABC90，故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东方向行驶22【解】因为四边形ABCD内接于圆，所以ABCA