高中数学第一轮总复习 第2章 第11讲 二次函数课件 理 新课标.ppt

第二章 函数 二次函数 第11讲 1 已知二次函数f x 的二次项系数为1 且满足f 1 x f 1 x f 2 1 则f x 2 若函数f x m 1 x2 2mx 3是偶函数 则f x 的单调增区间为 3 若函数f x x2 2x 3a没有零点 则实数a的取值范围是 x2 2x 1 0 25 5 若关于x的方程ax2 2x 1 0只有负数解 则实数a的取值范围是 0 1 二次函数的解析式 例1 已知函数f x ax2 a2x 2b a3 当x 2 6 时 f x 0 当x 2 6 时 f x 0 且f 0 48 求f x 点评 二次函数的表示方法有三种 一般式 y ax2 bx c a 0 顶点式 y a x b 2 c a 0 交点式y a x x1 x x2 a 0 根据条件可任选一种来表示二次函数 本题采用了交点式 根据题目条件 也可以采用顶点式 因为x 2或6是f x 0的两个根 所以x 2是其对称轴方程 变式练习1 已知二次函数f x 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 求f x 的解析式 2 在区间 1 1 上 函数f x 的图象恒在直线y 2x m的上方 求实数m的取值范围 二次函数的零点分布 例2 已知函数f x x2 2mx 2m 1的零点都在区间 0 1 上 求实数m的取值范围 点评 二次函数的零点分布也即二次方程实根分布 若两个零点分布在同一区间 则其充要条件包含三个方面 即判别式大于等于0 对称轴在该区间上 区间端点的函数值的符号 根据图象判断 若两个零点分布在两个不同区间 则其充要条件包含一个方面 即区间端点的函数值的符号 根据图象判断 变式练习2 已知函数f x x2 2mx 2m 1的在区间 1 0 和 1 2 内各有一个零点 求实数m的取值范围 定二次函数在动区间上的最值 例3 函数f x x2 4x 1在区间 t t 1 t r 上的最大值记为g t 1 求g t 的解析式 2 求g t 的最大值 解析 1 对区间 t t 1 t r 与对称轴x 2的位置关系进行讨论 当t 1 2 即t 1时 函数f x 在区间 t t 1 上递增 此时g t f t 1 t2 2t 2 当t 2 t 1 即1 t 2时 函数f x 在区间 t t 1 上先增后减 此时g t f 2 3 点评 定二次函数在动区间上的最值 一般是对区间与对称轴的位置关系进行讨论 讨论要按照顺序 不重复 不遗漏 变式练习3 已知函数f x x2 6x 8 x 1 a 的最小值为f a 则实数a的取值范围是 解析 利用函数f x x2 6x 8 x 1 a 的图象 知实数a的取值范围是 1 3 1 3 动二次函数在定区间上的最值 例4 已知f x 4 3a x2 2x a a r 求f x 在 0 1 上的最大值 点评 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值 此类问题与区间和对称轴有关 一般分为三类 定区间 定轴 定区间 动轴 本题是这一类 动区间 动轴 要认真分析对称轴与区间的关系 合理地进行分类讨论 特别要注意二次项系数是否为0 变式练习4 已知二次函数f x x2 2ax 1 a在区间 0 1 上有最大值为2 求实数a的值 解析 根据对称轴x a与区间 0 1 的关系讨论 当a1时 f x max f 1 a 2 所以实数a的值是 1或2 二次函数综合应用 例5 二次函数f x 4x2 2 p 2 x p 5在区间 1 1 上至少存在实数c 使f c 0 求实数p的取值范围 解析 只需函数f x 的图象从 1 1 上穿过 或f x 0 1 x 1 恒成立 等价条件是f 1 0或f 1 0 因为f 1 4 2 p 2 p 5 p 5 0 或f 1 4 2p 4 p 5 3 3p 0 所以p 1 5 点评 本题考查二次函数及其图象的综合分析能力 解答中 表面上看 只研究了函数图象从 1 1 上穿过 并没有讨论图象与x轴无交点的情况 事实上 函数图象若与x轴无交点 由于图象开口向上 所以在 1 1 上每一点c都有f c 0 本题可用间接法求解 若在 1 1 上不存在c使f c 0 则在 1 1 上所有的点x 使f x 0 变式练习5 若函数f x m 2 x2 4mx 2m 6的图象与x轴的负半轴有交点 求实数m的取值范围 1 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af x 0的解集是 解析 因为f x x2 ax b的两个零点是 2 3 所以f x x 2 x 3 即f x x2 x 6 此时a 1 因为不等式af x 0 即 x2 x 6 0 即 x 3 x 2 0 解集为 x 3 x 2 x 3 x 2 2 函数f x x2 2x 3在区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围是 1 2 4 已知函数f x x2 2 m 1 x 2m 6 若f x 0有两个实根 且一个根比2大 一个根比2小 则m的范围为 解析 f 2 22 4 m 1 2m 6 6m 6 0 解得m 1 1 5 二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 f x 的最大值是8 求f x 的解析式 1 二次函数性质的应用若二次函数的二次项系数含有参数a 则必须分a 0 a 0进行第一层次的分类讨论 以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论 对称轴与区间的关系有三种类型 即对称轴变动 区间固定 对称轴固定 区间变动 对称轴与区间都未固定 要根据具体情况分别对待 2 二次函数的零点分布也即