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金太阳新课标资源网 与直线有关的对称问题山东 杨道叶 一、知识精析1关于直线对称的点 若两点与关于直线：对称，则线段的中点在对称轴上，而且连结、的直线垂直于对称轴，由方程组 可得到点关于对称的点的坐标（其中）。 2关于直线对称的两条直线 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决。若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出上任一个已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是；若已知直线与对称轴平行，则与对称的直线和到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出的对称直线。 3点关于特殊直线对称点的坐标点对称轴对称点轴轴直线直线直线直线 二、应用举例 例1 求与点关于直线：对称的点的坐标。 分析：设点的坐标为，则直线为的垂直平分线，所以，的中点在上，列出关于，的方程组，求解即可。 解析：设，则，的中点。 ，解得， 点的坐标为。 评注：另解为：先求出过点与垂直的直线的方程，解与直线的方程组成的方程组，求得交点的坐标，再运用中点坐标公式求出点的坐标。 例2 求直线：关于直线：对称的直线的方程。 分析：由平面几何知识知，若关于对称，它们具有下列性质：（1）若相交，则为交角的平分线；（2）若点在上，那么关于对称点必在上，这时，并且中点在上；（3）以为轴旋转，一定与重合。使用这些性质，可以求出的方程。此题解法很多，总的来说有两类方法，一类是找出确定方程的条件，另一类是求轨迹方程。 解析：由得，也在上。 方法1：在：上取点，设关于的对称点为，则，故由两点式得直线方程为。方法2：设上的动点关于：对称点为，则有，。 在：上，化简得，即为直线的方程。 评注：该例明显地体现了求直线方程的两种不同方法，方法1除了求点外，还找出了确定直线的另一条件，方法2是利用动点几何性质，直接求轨迹的方法。例3 已知直线：，求： （1）点关于的对称点； （2）直线关于直线对称的直线方程。 分析：两点、关于直线对称，即为，垂足为线段的中点。 解析：设关于直线：的对称点为。 则，即， 又的中点在直线上， 由解得， 。 （1）把代入式及式得， 点关于的对称点的坐标为。 （2）用式、式分别代换中的、得关于对称的直线方程为，化简得，即为所求方程。 评注：本题中的代换方法适合于求任意曲线某一定直线对称的曲线方程。 三、知能展示光线沿直线：射入，遇到直线：后反
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