1.4.2 《 角平分线》 （第2课时）.ppt

第一章三角形的证明4角平分线 2 Contents 目录 01 02 旧知回顾 学习目标 新知探究 随堂练习 课堂小结 1 能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等 2 角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用 1 角平分线的性质定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一 如图 OC是 AOB的平分线 P是OC上任意一点 PD OA PE OB 垂足分别是D E 已知 PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 2 角平分线的判定定理定理 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 如图 PD PE PD OA PE OB 垂足分别是D E 已知 点P在 AOB的平分线上 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 这个结论又是经常用来证明点在直线上 或直线经过某一点 的根据之一 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线 观察这三条角平分线 你发现了什么 结论 三角形三个角的平分线相交于一点 你想证明这个命题吗 你能证明这个命题吗 利用尺规作出三角形三个角的角平分线 观察这三条角平分线 你发现了什么 结论 三角形三个角的角平分线相交于一点 你想证明这个命题吗 你能证明这个命题吗 命题 三角形三个角的平分线相交于一点 基本思路 我们知道 两条直线相交只有一个交点 要想证明三条直线相交于一点 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 如何证三条直线交于一点 如图 设 ABC的角平分线BM CN相交于点P 过点P分别作BC AC AB的垂线 垂足分别E F D BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 同理 PE PF 点P在 BAC的平分线上 在一个角的内部 且到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上 并且PD PE PF ABC的三条角平分线相交于一点P 并且P点到三条边的距离相等 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 如图 在 ABC中 BM CN AH分别是 ABC的三条角平分且PD AB PE BC PF AC 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一 这个交点叫做三角形的内心 BM CN AH相交于一点P 且PD PE PF 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 例3如图 在 ABC中 已知AC BC C 90 AD是 ABC的角平线 DE AB 垂足为E 1 如果CD 4cm 求AC的长 2 求证 AB AC CD 解 1 AD是 ABC的角平线 DE AB DC AC DE CD 4cm AC BC B BAC 等边对等角 C 90 B 45 BDE 90 45 45 BE DE在等腰直角三角形BDE中 例3 如图 在 ABC中 已知AC BC C 90 AD是 ABC的角平线 DE AB 垂足为E 1 如果CD 4cm 求AC的长 例3 如图 在 ABC中 已知AC BC C 90 AD是 ABC的角平线 DE AB 垂足为E 2 求证 AB AC CD 解 2 证明 由 1 的求解过程可知 Rt ACD Rt AED HL AC AE BE DE CD AB AE BE AC CD 1 如图 直线L1 L2 L3表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相等 则可选择的地址有几处 满足条件共4个 2 已知 如图 C 90 B 30 AD是Rt ABC的角平分线 求证 BD 2CD 证明 C 90 B 30 Rt ABC中 AB 2AC BAC 60 AD是 ABC的角平分线 BAD DAC 30 AD BD Rt ACD中 AD 2CD BD 2CD 3 已知 如图 ABC的外角 CBD和 BCE的角平分线相交于点F 求证 点F在 DAE的平分线上 证明 BF是 CBD的角平分线 F到BC AD的距离相等 CF是 BCE的角平分线 F到BC AE的距离相等 F到AD AE的距离相等从而点F在 DAE的平分线上 证明 1 P是 AOB平分线上的一个点 PC OA PD OB PC PD在Rt POC和Rt POD OP OP Rt POC Rt POD OC OD 4 已知 如图 P是 AOB平分线上的一个点 并且PC OA PD OB 垂足分别是C D 求证 1 OC OD 4 已知 如图 P是 AOB平分线上的一个点 并且PC OA PD OB 垂足分别是C D 求证 2 OP是CD的垂直平分线 证明 2 由PC PD得P在CD的垂直平分线上由OC OD得O在CD的垂直平分线上 OP是CD的垂直平分线 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 如图 在 ABC中 BM CN AH分别是 ABC的三条角平分线且PD AB PE BC PF AC 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之