广东省阳江市阳东一中、广雅中学高三数学上学期第一次联考试卷 理（含解析）.docVIP

广东省阳江市阳东一中、广雅中学2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共40分1函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是( )a（，1）b（1，+）c（1，1）（1，+）d（，+）考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案解答：解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（1，1）（1，+）；故选：c点评：本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可2若复数z满足方程z2+2=0，则z3=( )abcd考点：复数代数形式的混合运算分析：先求复数z，再求z3即可解答：解：由，故选d点评：复数代数形式的运算，是基础题3已知a、b是实数，则“a1，b2”是“a+b3且ab2”的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分且必要条件d既不充分也不必要条考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：不等式的解法及应用分析：通过不等式的性质判断前者是否推出后者，通过特例判断后者是否推出前者，即可得到结论解答：解：a、b是实数，则“a1，且b2”“a+b3，且ab2”正确，当a=10，b=0.2时，a+b3，且ab2，所以a1，且b2不成立，即前者能推出后者，后者推不出前者，所以a、b是实数，则“a1，且b2”是“a+b3，且ab2”的充分而不必要条件故选a点评：本题考查充要条件的应用，考查不等式的基本性质，是基础题4abc中，角a、b、c所对的边a、b、c，若，b=( )abcd考点：正弦定理专题：解三角形分析：利用同角三角函数的基本关系求出sinb，再由正弦定理求出b的值解答：解：由题意可得，abc中，sinb=再由正弦定理可得 ，即 ，解得 b=，故选c点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题5在平行四边形abcd中，ac为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则=( )a（2，4）b（3，5）c（1，1）d（1，1）考点：平面向量坐标表示的应用专题：平面向量及应用分析：可结合图形，根据向量的加法，及相等向量、相反向量、向量的坐标运算即可求出的坐标解答：解：=（2，4）（1，3）=（1，1）故选c点评：考查向量的加法，以及向量的坐标运算6已知点p（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=xy的最小值是( )a1b2c1d2考点：简单线性规划专题：计算题分析：已知可行域画可行域不等式组，根据z为目标函数纵截距，画直线0=xy平移可得直线，可得z的最值解答：解：不等式组画可行域如图，画直线0=xy，z=xy平移直线0=xy过点a（0，1）时z有最小值zmin=01=1；则z=xy的最小值为1，故选a；点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题7已知点p是抛物线x2=4y上的一个动点，则点p到点m（2，0）的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )abc2d考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的定义，将抛物线x2=4y上的点p到该抛物线准线的距离转化为点p到其焦点f的距离，当f、p、m共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值解答：解：抛物线x2=4y的焦点f的坐标为f（0，1），作图如下，抛物线x2=4y的准线方程为y=1，设点p到该抛物线准线y=1的距离为d，由抛物线的定义可知，d=|pf|，|pm|+d=|pm|+|pf|fm|（当且仅当f、p、m三点共线时（p在f，m中间）时取等号），点p到点m（2，0）的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为|fm|，f（0，1），m（2，0），fom为直角三角形，|fm|=，故选b点评：本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题8对于非空集合a，b，定义运算：ab=x|xab，且xab，已知m=x|axb，n=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，则mn=( )a（a，d）（b，c）b（c，a点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的空间想象能力，是基础题13观察下列等式：（1+x+x2）1=1+x+x2，（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，由以上等式推测：对于nn*，若（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n则a2=考点：归纳推理专题：探究型分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，归纳后即可推断出a2的等式解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，根据已知可以推断：第n（nn*）个等式中a2为：1+2+3+4+n=故答案为：点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）一、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分（坐标系与参数方程选做题）14（坐标系与参数方程选做题）如图，pa是圆的切线，a为切点，pbc是圆的割线，且=，则=考点：与圆有关的比例线段专题：直线与圆分析：首先设pb=x，则bc=2x根据切割线定理，得到pa2=pbpc，从而用x表示pa的长，再进一步求出比值解答：解：由题意，可设pb=x，则bc=2x根据切割线定理，得到pa2=pbpc=3x2，pa=x，所以=故答案为：点评：此题主要是考查了切割线定理，以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题一、（坐标系与参数方程选做题）15（坐标系与参数方程选做题）曲线=4cos关于直线=对称的曲线的极坐标方程为=4sin考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化专题：直线与圆分析：先将原极坐标方程=4cos两边同乘以后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题解答：解：将原极坐标方程=4cos，化为：2=4cos，化成直角坐标方程为：x2+y24x=0，它关于直线y=x（即=）对称的圆的方程是x2+y24y=0，其极坐标方程为：=4sin故答案为：=4sin点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系：cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，满足a2+c2b2=ac（1）求角b的大小；（2）设，求的最小值考点：余弦定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用专题：计算题分析：（1）利用余弦定理表示出cosb，把已知的等式代入得出cosb的值，由b为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数；（2）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出，并利用二倍角的余弦函数公式化简，配方后得到关于sina的二次函数，由a的范围，得到sina的范围，根据二次函数的图象与性质求出此时二次函数的最小值，即为的最小值解答：解：（1）在abc中，a2+c2b2=ac，由余弦定理得，又b（0，），；（2），又，0sina1，当sina=1时，取最小值5点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的图象与性质，以及二次函数的图象与性质，熟练定理及公式是解本题的关键17某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和期望考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（1）根据题意，成绩在第一组的为优秀，其频率为0.06，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数；（2）由频率分布直方图知成绩在第三组的频率0.38，因此估计成绩属于第三组的人数约为9000.38=342人；（3）由题意，的可能取值为1，2，3根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望解答：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，人数为：500.06=3所以该样本中成绩优秀的人数为3 （2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：9000.38=342所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342（3）的可能取值为1，2，3；的分布列为：p1231/31/21/6点评：本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数、900名学生中成绩属于第三组的人数的估计值，并求一个随机事件的概率着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题18如图，三棱柱abca1b1c1中，aa1面abc，bcac，bc=ac=2，aa1=3，d为ac的中点（）求证：ab1面bdc1；（）求二面角c1bdc的余弦值；（）在侧棱aa1上是否存在点p，使得cp面bdc1？并证明你的结论考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：计算题；证明题分析：（i）连接b1c，与bc1相交于o，连接od，我们由三角形的中位线定理，易得odab1，进而由线面平行的判定定理得到ab1面bdc1；（）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面c1bd和平面bdc的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角c1bdc的余弦值；（）假设侧棱aa1上存在点p，使得cp面bdc1，我们可以设出p点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的p点不存在解答：证明：（i）连接b1c，与bc1相交于o，连接odbcc1b1是矩形，o是b1c的中点又d是ac的中点，odab1ab1面bdc1，od面bdc1，ab1面bdc1解：（ii）如图，建立空间直角坐标系，则c1（0，0，0），b（0，3，2），c（0，3，0），a（2，3，0），d（1，3，0）设=（x，y，z）是面bdc1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，）易知=（0，3，0）是面abc的一个法向量cos，=二面角c1bdc的余弦值为（iii）假设侧棱aa1上存在一点p（2，y，0）（0y3），使得cp面bdc1则，即方程组无解假设不成立侧棱aa1上不存在点p，使cp面bdc1点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（i）的关键是证得odab1，（ii）（iii）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题19已知a2、a5是方程x212x+27=0的两根，数列an是递增的等差数列，数列bn的前n项和为sn，且sn=1bn（nn+）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）记cn=anbn，求数列cn的前n项和tn考点：数列的求和；数列的应用专题：等差数列与等比数列分析：（1）由于a2、a5是方程x212x+27=0的两根，数列an是递增的等差数列，可得a2=3，a5=9，利用等差数列的通项公式即可得出an对于数列bn，sn=1bn（nn+）当n=1时，解得b1当n2时，bn=snsn1，利用等比数列的通项公式可得bn（2）cn=anbn=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1）解方程x212x+27=0，可得x=3或9，a2、a5是方程x212x+27=0的两根，数列an是递增的等差数列，a2=3，a5=9，设公差为d，则，解得a1=1，d=2，an=1+2（n1）=2n1对于数列bn，sn=1bn（nn+）当n=1时，解得b1=当n2时，bn=snsn1=，化为，因此数列bn是等比数列，bn=（2）cn=anbn=，数列cn的前n项和tn=+，3tn=2+，两式相减可得：2tn=+=2=4，tn=2点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20如图，已知椭圆c：+y2=1（a1）的上顶点为a，离心率为，若不过点a的动直线l与椭圆c相交于p、q两点，且（）求椭圆c的方程；（）求证：直线l过定点，并求出该定点n的坐标考点：恒过定点的直线；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由椭圆的解析式得到b=1，再利用椭圆的性质a2+b2=c2列出关系式，与e=联立组成方程组，求出方程组的解得到a与c的值，即可确定出椭圆的解析式；（）由=0，利用平面斜率数量积为0时两向量垂直得到ap与aq垂直，可得出ap与坐标轴不垂直，由a的坐标设出直线ap的方程为y=kx+1，根据两直线垂直时斜率的乘积为1表示出直线aq的方程，将y=kx+1代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出p的坐标，将直线aq方程代入椭圆方程，同理表示出q的坐标，由p与q的坐标，表示出直线l的两点式方程，整理后可得出直线l恒过定点n（0，）解答：解（）依题意有：e=，a2c2=b2=1，联立解得：a=，c=，则椭圆c的方程为+y2=1；（）证明：由=0，得到apaq，从而直线ap与坐标轴不垂直，由a（0，1）可设直线ap的方程为y=kx+1，得到直线aq的方程为y=x+1（k0），将y=kx+1代入椭圆c的方程+y2=1中，并整理得：（1+3k2）x2+6kx=0，解得：x=0或x=，p的坐标为（，+1），即（，），将上式中的k换成，同理可得q（，），直线l的方程为y=（x）+，整理得：直线l的方程为y=x