普通物理实验三讲义.doc

普物物理实验三讲义普通物理实验三讲义南通大学理学院实验中心目 录基本实验理论1实验一 传感器法测定空气的比热容比21实验二 用板式电势差计测电源电动势及内阻25实验三 电子束的偏转实验31实验四 用霍尔法测亥姆霍兹线圈磁场分布39实验五 铁磁材料的磁滞回线及基本磁化曲线48实验六 霍尔效应研究57实验七 用双光栅测量微弱振动位移量66实验八 复摆特性的研究71实验九 测定液体表面张力系数77实验十 单色仪的定标81实验十一 用双棱镜干涉测钠光波长85实验十二 生物、医学显微镜的使用89实验十三 用圆盘旋光仪测旋光性溶液的浓度93实验十四 用阿贝折射仪测液体折射率98108基本实验理论1.1 测量及其分类一、测量测量就是将待测物理量与仪器国际标准单位进行比较的过程，其倍数即为待测物理量的测量值。在国际单位制中，规定了七个基本物理量，它们分别是：质量、长度、时间、电流、热力学温标、发光强度和物质的量，基本物理量的单位称之为基本物理单位，它们分别是：千克、米、秒、安培、开尔文、坎德拉和摩尔。测量值由数值与单位组成。一个数值只有赋予了物理单位，才有具体的物理意义，才能表征特定的物理量。二、测量的分类根据获得测量结果的方法不同，将测量分为直接测量和间接测量。（一）直接测量直接测量：就是把待测物理量直接与标准量（仪器或量具）进行比较，直接读数，直接得到测量结果。例如：用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用安培计测量电路中电流强度等等，都属于直接测量。直接测量按测量的次数分为：单次测量和多次测量。单次测量：只进行一次的测量称为单次测量。单次测量主要在以下情况时采用，由于测量条件所限制，使测量所带来的误差远大于仪器的不确定度；由于该测量量的不确定度远小于其他测量量的不确定度。多次测量：测量次数超过一次的测量称为多次测量。多次测量按测量条件又分为等精度测量和非等精度测量。等精度测量：是指在相同测量条件下，对同一被测量进行多次重复测量。相同条件是指环境、操作者、仪器、方法等均相同。例如：由同一个人在同一台仪器采用相同的测量方法对同一个物理量进行多次测量，每次测量的可靠程度都相同，这就是等精度测量。非等精度测量：就是指在测量条件不同的情况下进行的一系列测量。即不同的测量条件，不同的测量仪器、不同的测量方法、不同的测量次数、不同的测量人员等进行的测量。（二）间接测量间接测量：就是待测物理量无法直接与标准物理量进行比较、读数，只能利用直接测量量与被测量之间的已知函数关系得到被测量物理量的值。例如：测一段电路的电阻R，可通过测量这段电路的电流I和加在这段电路两端的电压U而得到，。这里U、I为直接测量量，R为间接测量的量。1.2 有效数字有效数字的概念是由被测量和量具所决定的，任何测量结果都存在有效数字的问题。所谓有效数字，就是测量结果中的若干可靠数字加上位估读数字组成的有效数字。有效数字的最后一位为估读位，具有不确定性。测量结果的表示，必须采用正确的有效数字。不能多取，也不能少取。少取了会损害测量的精度，多取了则又会夸大测量的精度。一、记录数据的方法我们以电流表读数为例，介绍正确记录数据的方法。（一）介于二个刻线之间的读数方法在测量时，测得的值往往不是恰好等于所用仪器最小刻度值的整数倍，而是介于二个刻度线之间。为了使测量结果尽可能的准确，必须对指针在二个刻线之间作出合理的估计。如图0-2-1所示，电流表上的指针指示介于18与19之间，故读出的测量值可能为18.6A(安培)、18.5A、18.7A三种值。这种差异只能出现在最后一位上，因为这一位的“6”、“5”、或“7”是估读出来的，称为估读位。前面两位一般是不会读错的，因此，前两位称为可靠位。图0-2-1的测量结果表明电流强度18.6A有三位有效数字。 图0-2-1 图0-2-2（二）指示整刻度线的读数方法如图0-2-2所示，指针恰好指在20mA的刻度线上，但测量结果不能记为20mA。因为这将会造成以下的印象，认为末位的“0”位是估读位，即测量结果可能是19mA或是21mA。实际上指针只要偏离刻线一点点，例如20.2mA，就可以分辩出来。因此估读位应当在小数点后面的第一位上。正确的读数是20.0mA。（三）单位换算有效数字的位数不变1若将18.6A（安培）换算成以mA(毫安)为单位的量，直接写成18600mA，按照有效数字的定义，最后一位“0”应是估读位，前面几位都是精确得到的，显然这与事实不符，扩大了有效数字的位数，因此这种写法是错误的。正确的写法应当是mA或mA等。乘号前的数表示测量值的有效位数，后面10的方次表示测量值的数量级。所以，在有效数字的后面是不能随便加“0”的。 2若将18.6A（安培）换算成以kA(千安培)为单位的量。若直接写成0.0186kA，显然最后一位“6”仍是估读位，前面两个0则不是有效数字(0.0186与的估读位是相同的)，因此这种表示不会引起误解，不过较好的表示应当为kA或kA等。所以，有效数字前面的“0”不属于有效数字，仅用来标记小数点位置的作用，即有效数字位数与小数点的位置无关。（四）“0”在有效数字中的地位 “0”在有效数字之间或后面都是有效数字，第一个非零数字之前的零不是有效数字。例如：1.005、125.0、13.00都是四位有效数字；0.0013是两位有效数字。特别注意1.0与1.00的意义是不同的。1.0表示两位有效数字，0是不可靠数字；而1.00表示三位有效数字，最后一个0是不可靠数字，两者的误差不同，准确度也就不同。所以数字后面的“0”不能随便去掉，也不能随便加上。注意：读数时的最后一位必须读到估读位。例1 指出下面几个测量值分别有几位有效数字？ (1)0.2870cm； (2)g (3)0.05020km。答 (1) 4位 (2) 3位 (3) 4位（五）尾数舍入规则在计算过程中，为了减少计算中引起的累积误差，测量值和不确定度的尾数保留到估读位，也可根据情况多保留一位。测量值和不确定度尾数的取舍方法采用四舍五入法。注意：在计算被测量最佳值时，对于大量尾数分布几率相同的数据，采用四舍五入会使入的几率大于舍的几率，这时采用“尾数凑偶法”更为合理。即小于五舍，大于五进，等于五则偶舍奇进（是指5的前面是偶数就舍，是奇数就入）。在其他情况下，则应采用四舍五入。鉴于本课程中测量次数往往不多，因此统一规定采用四舍五入法。不确定度的计算原则是宁大勿小的，故采取只进不舍的规则。例2 设，则以下的写法都是不对的： 正确的写法是： （六）不确定度、测量结果与有效数字之间的关系在测量结果中，有效数字位数应当与不确定度相符。一般不确定度数字最多保留2位。在普通物理实验中，不确定度的有效数字只1位，所以有效数字的最后1位是测量结果不确定度所在位。测量值的最末一位（有效数字的末位）与不确定度的末位对齐。假如某一体积的测量值为21.6832cm3，测量结果的不确定度为0.0627cm3。不确定度表明小数点后面那的第二位“6”已经是不确定位了，因此没有必要保留更多的位数。可把它写成0.07cm3。则测量值中的“8”与不确定度中的“6”对齐，所以“8”也是不确定位。按照有效数字的定义，“8”后面的数值也没有必要保留。因此测量结果的正确表示二、有效数字的运算影响有效数字位数的主要因素是仪器的精度和有效数字的运算。下面介绍有效数字的运算规则。（一）和差运算规则假定，实验中有几个测量值相加或相减，如： 321.83 41.1 477+5.546-93.61368.476383.39在估读数（不可靠数）下面用一横线标明。因为不可靠数和可靠数相加，其结果仍为不可靠数，并且估读数最后仅取一位。所以上述运算的结果应分别记成：368.5 和 383结论：在加减法运算中，运算结果的最后一位与参加运算的各测量值中尾数位最高的取齐。上两例中，尾数位最高的两个数是41.1和477。 为了保证不因各测量值的数值运算，而影响实验结果原来的精度，并避免取位过多使运算复杂，故在运算过程中，以尾数位最高的测量值为标准，比如41.1和477，其他测量值可多保留一位，最后结果与其取齐。这样，上面两例计算的正确写法是：321.83 41.1 477+5.54-93.6368.48383.4最后的计算结果分别为：368.5和383 。 （二）积商运算规则先看一个乘法的例子： 6.42821.744996642812856139.4876因为估读位上的数是估读数，即为不可靠数。不可靠数与可靠数相加是不可靠数，不可靠数与其它数相乘仍是不可靠数，再考虑到运算结果只能保留一位不可靠数，根据四舍五入原则，最后运算结果为139。结论：在积、商运算中，运算结果的有效数字与参与运算的各测量量中有效数字位数最少的取齐。（三）乘方与开方测量值经过乘方与开方运算后，所得结果的有效数字与底数的有效数字位数相同。（四）函数运算1、对数函数：测量值经过对数函数运算后，所得结果的有效数字的位数与真数的有效数字位数相同。例如：log1.983=0.297322714，计算结果应取成0.2973；log1983=3.29732271，计算结果应取成3.2972、指数函数：测量值经过指数函数运算后，运算结果的有效数字位数与指数的小数点后的位数相同（包括紧接小数点后的零）。例如： ，计算结果应取成； ，计算结果应取成1.008。3、三角函数：在0时，sin和cos都介于0和1之间，三角函数的取值随角度的有效数字而定。一般用分光计读角度时，应读到1分。此时，应取四位有效数字。例如：，计算结果应取成0.5000；，计算结果应取成0.9387。注意：1、在有效数字运算过程中，多余的位数一律通过“四舍六入五凑偶”的法则加以简化；2、参与计算的、e、等常数，它不是由测量得来的，其有效数字位数可以认为是无限的，在计算中需要几位就取几位。1.3误差及其分类一、 误差在确定的条件下，待测量具有的客观实际值，用表示。在具体的测量过程中，无论怎样改进实验方法、提高议器精度和操作人员的水平，由于各种条件的限制，如环境影响等因素的局限，方法不可能完美无缺，仪器精度总是有限的，甚至物理量本身的起伏，待测量值和真值之间总是存在一定的差异，这一差异叫误差。误差来源于有效数字的估读位，误差常用绝对误差和相对误差来描述。绝对误差：若用表示真值，用表示测量值，则测量值与真值之差称为绝对误差。表示为：它反映了测量值偏离真值的大小和方向，单位与测量值的单位相同，一般取一位有效数字。相对误差：就是绝对误差与真值之比，用下式表示：它反映了测量值偏离真值的相对大小，相对误差是没有单位的，可以用来比较不同单位的几个物理量的相对精度，一般取2位有效数字。 测量永远不可能得到真值， 在估算误差和评定测量结果时，用“约定真值”代替真值。约定真值是指对于给定的测量目标而言，被认为充分接近真值，可以用来代替真值的量值。一般用被测量的公认值、测量值的平均值和高等级仪器的测量值作为被测量的“约定真值”。在我们大学物理实验中，用测量列平均值作为真值的“约定真值”或者最佳值。 二、 误差的分类按照误差的来源和性质的不同，一般将误差分为：系统误差、过失误差和偶然误差三类。（一）系统误差 系统误差：是指实验系统（测量系统）在测量过程中和在取得其结果的过程中存在恒定的或按一定规律变化的误差。如秒表偏快，表盘刻度不均匀，米尺的刻度偏大，天平不等臂，米尺因为环境温度的变化导致米尺本身的伸缩，等等，这些均为仪器本身结构或环境变化导致的恒定误差；又如在测量电阻的阻值时，电阻上因通过电流而发热，从而导致了电阻阻值的变化，这种变化是有一定规律的。因此这种误差便属于按一定规律变化的系统误差。系统误差包含：仪器误差、仪器零位误差、理论和方法误差、环境误差和人为误差等。1仪器误差：由于仪器制造的缺陷，使用不当或者仪器未经很好校准所造成的误差。如秒表偏快、表盘刻度不均匀、尺子的刻度偏大、米尺因为环境温度的变化导致米尺本身的伸缩、砝码未经校准、仪器的水平或铅直未调整等造成示值与真值之间的误差，统称为仪器误差。2仪器零位误差：在使用仪器时，仪器零位未校准所产生的误差。如千分尺当两个砧头刚好接触时千分尺上有读数；电表流表在没有电流流过时电流表上有读数，这些都是因为仪器的零位不准而引起的误差，称为仪器误差。3理论和方法误差：实验所依据的理论和公式的近似性；实验条件或测量方法不能满足理论公式所要求的条件等引起的误差。实验中忽略了摩擦、散热、电表的内阻等引起的误差都属于这一类。4环境误差：测量仪器规定的使用条件未满足所造成的误差。如室温高于仪器所规定的实验温度范围，而引起的误差称之为环境误差。5人为误差：由于测量者本身的生理特点或固有习惯所带来的误差，例如反应速度的快慢、分辨能力的高低，读数的习惯等。系统误差按其特点可以分为可修正系统误差和不可修正系统误差。凡是大小、符号可以确定的系统误差，即为可修正系统误差， 如仪器误差、理论误差等，可以根据它的大小和符号对测量结果进行修正，消除它对测量结果的影响。那些只能估计它的大小，不能确定它的符号的系统误差，称为不可修正系统误差。总是偏向一侧，因此不能通过多次测量取平均来消除它。（二）过失误差过失误差，指实验者使用仪器的方法不正确，实验方法不合理，粗心大意，过度疲劳，读错、记错数据等引起的误差。只要实验者采取严肃认真的态度，就可以消除这种误差。（三）偶然误差（又叫随机误差） 1偶然误差是指在消除系统误差和过失误差的条件下，在相同的测量条件下，对同一物理量作多次等精度测量测量，每次得到的测量值都不相同，有时偏大，有时偏小。当测量次数足够多时，这种偏离引起的误差服从统计规律，即离真值近的测量值出现的次数多，离真值远的出现次数少,而且测量值与真值之差的绝对值相等的测量值出现的概率相等。当测量次数趋于无限多时，偶然误差的代数和趋向于零。因此，通过增加测量次数可减小偶然误差。偶然误差是不可修正的。2偶然误差的特点具有有界性。误差的绝对值不会超过某一最大值。具有单峰性。绝对值小的出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小。具有对称性。绝对值相同的正、负误差出现的概率相等。具有抵偿性。误差的算术平均值随着测量次数的无限增加而趋于零。由此可见，偶然误差虽然不可预知也无法避免，但却可以通过多次测量，利用其统计规律性达到互相抵偿，从而找到真值的最佳近似值（又叫最佳值或最近真值）。三、误差的修正误差的修正主要是指对可修正系统误差的修正，所谓修正是指将系统误差对测量结果的影响减少到偶然误差之下。测量结果经修正后，就消除了或减少了可修正系统误差的影响，因此可修正系统误差就不要参加误差的合成或者传递。四、被测量的最佳估值(约定真值)在相同的测量条件下，对某一物理量进行了n次独立的重复测量，所得n个测量值为， ，则该测量列的算术平均值为 ： =(+)称这个算术平均值为被测量的最佳值。1.4不确定度 由于真值不可及，因此，误差是一个理想概念，无法通过测量给出。因为误差贯穿于测量过程的始终，所以作为一个测量结果，不仅要提供被测对象量值的大小和单位，而且还要对测量的可靠程度做出判断。不知道可靠程度的测量值，是没有意义的。1993年我国修订了测量误差及数据技术规范；2002年，中国实验室国际委员会制定了CANL/AG07：2002化学分析中不确定度的评估指南，该指南采用了EURACHEM（欧洲分析化学中心）和CITAC联合发布的指南文件测量中不确定的量化第二版标准，明确指出要用不确定度作为测量数据结果误差指标名称。一、不确定度在实际测量中消除了可修正系统误差之后，仍然存在随机误差和不可修正系统的系统误差，故测量值中仍然存在有误差。不确定度是对误差的估计，可以从测量数据中求出，用来描述实验结果的可靠程度，不确定度但不是实际误差，也不代表误差的绝对值，只提供了在概率含义下的误差可能取值范围的一种估计。因此实验数据处理只能求出被测量的最佳值和不确定度。不确定度：用于描述被测量量的不能肯定的程度，是对被测量的真值在某个量值范围的评定，不确定度用字母“u”表示。绝对不确定度：是测量值与测量最佳值之差，表示为：在没有特别指明的条件下，不确定度就是指绝对不确定度。单位与被测量的单位相同，一般取一位有效数字。相对不确定度：是绝对不确定度与测量列最佳值之比，用ur表示，表示为： 相对不确定度是一个无单位的数，可用于不同单位几个物理量测量准确度的比较，一般取2位有效数字。二、不确定度分类不确定度按其数值评定方法的不同，可分为标准不确定度和扩展不确定度，分类见下表： A类标准不确定度标准不确定度 B类标准不确定度合成标准不确定度绝对不确定度 u（K=2）扩展不确定度 u（K=3）u95u99不确定度 A类相对标准不确定度相对标准不确定度 B类相对标准不确定度相对不确定度 合成相对标准不确定度相对扩张不确定度 在大学物理实验的学习中，我们只掌握一种数据处理的方法，故仅考虑标准不确定度。标准不确定度又分为A类标准不确定度、B类标准不确定度和合成标准不确定度。三、不确定度的评定（一）标准不确定度的A类评定标准不确定度A类评定，指用统计的方法计算出的平均值的标准偏差，用表示。即是指在相同测量条件下，对测量进行多次测量所得的最佳值，用统计方法评定的不确定度，用表示。设在相同条件下，对某一物理量独立测量n次，得到的测量值为，标准不确定度A类评定为： （二） 标准不确定度B类评定标准不确定度的B类评定，原则上为除标准不确定度A类评定以外的各种可能值，是指用非统计方法评定的不确定度，用表示。当在测量中几个误差分量同时存在时，各误差分量的变化均不随其他误差分量的变化而变化，则这些量是相互独立的。否则，它们是相关的。当测量结果中所含的各来源标准不确定度是相互独立的时， 则B类标准不确定度的计算方法为：当测量结果中所含的各误差分量是相互不独立时，则应用协方差。在大学物理实验教学中，作为基本训练，将标准不确定度B类评定，简单评定为仪器示值标准不确定度和仪器灵敏度标准不确定度。1仪器示值不确定度取舍的原则仪器示值标准不确定度是指在正确使用条件下，仪器可能出现的最大不确定度，用表示。仪器示值标准不确定度：等于计量器具示值的绝对不确定度除以仪器的测量范围的上限，或零点两侧测量范围之和。通常按以下四种方法确定：对于有刻度但未标出精度（等级）的仪器，取其最小分度值一半为测量不确定度限。例如,e为最小分度值。例1 若米尺的分度值为1mm，属于是连续读数仪表，仪器示值不确定度取分度值的一半，即0.5mm。对于标有精度的仪器，将精度作为仪器示值标准不确定度。例2 精度为0.02mm的游标卡尺，仪器的示值不确定度取为0.02mm。例3 若用精度为1级的千分尺，测得某物体长度（一次）为15.536mm（尾数是6时估计值）。千分尺的最小分度值为0.01mm ,仪器的示值标准不确定度取为mm。故将单次测量结果写为：mm对于有精度等级的仪器仪表，按精度等级计算不确定度。例如 电工仪表精度等级分为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0等七个等级，就是以所属仪表的示值不确定度为标志的。对于k级仪表，表明其合格仪表的示值不确定度不超过k%，但不能认为各刻度点上的示值不确定度都是k%。如某仪表的满刻度值为，测量点的值为，则该仪表在值邻近的示值不确定度为：绝对不确定度相对不确定度对于数字显示的仪器仪表，一般取最小分度值为测量不确定度限，对于五位以上的精密数字仪表，按仪表说明书取测量不确定度限。： 图0-4-1电子秒表图0-4-2温度计 例4 电子秒表图0-4-1，表示的时间为 因为电子秒表为非连续读数仪表，它的最小分度为0.01秒，则仪器示值不确定度为0.01秒。例5 液体温度计如图0-4-2所示，说明书给出仪器误差为0.2，故应表示为 2、仪器灵敏标准不确定度的估算方法：电桥、电位差计等电路中含有平衡指示的仪器，当电路平衡时，若待测量发生微小变化，平衡指示器也会发生相应的微小变化。由于人眼分辨率能力的原因，造成人眼无法准确判断平衡指示仪是否准确指零。当指针在零位附近一个小范围内时，测量者往往会认为已经平衡，则由此产生的灵敏度误差限式中为灵敏度标准不确定度，为仪器（或电路）的灵敏度，一般取0.2格。3、仪器标准不确定度B类的评定因为，则B类标准不确定度为：（三）合成标准不确定度合成标准不确定度，用表示。若某测量结果的A类和B类不确定度分别为、，则合成标准不确定度为： 注意：式中、这三项每次并非同时都出现，要视情况而定。当对被测量只测一次时，则、两项就不出现，这时合成不确定度为：；当测量中没有使用平衡指示器仪器时，则灵敏度标准不确定度就不出现，合成标准不确定度就为：。合成标准不确定度的单位与被测量的单位相同，取一位有效数字。（四）不确定度这里的不确定度是指对测量结果，总的不确定度的评定。1、 置信概率把标准不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的包含因子(覆盖因子)，称为不确定度，则。当时，如果不存在其它误差的影响，则测量值在（）范围内的概率为（68.3%）；当时，如果不存在其它误差的影响，则测量值在（）范围内的概率为（95.0%）；当时，如果不存在其它误差的影响，则测量值在（）范围内的概率为（99.7%）。在实验教学中，重点是为了让学生掌握数据处理的方法，故取，不确定度2、 不确定度对于近似正态分布的实验数据，简单的将包含因子取为，则不确定度为，则实验测量结果表示为：测量值=最佳估计值不确定度，表示为： （单位）即测量值在（，）的范围概率为99.7%。四、百分差当被测量有准确真值（如光速）或有准确的共认值（如当地的重力加速度）和理论值时，设其值为，测量值的最佳值为。则百分偏差为：百分偏差反映了测量值偏离真值的程度。若百分偏差远大于相对不确定度，说明数据处理可能遗漏了较大的标准不确定度评定，应用前面介绍的方法去查找。1.5 数据处理一、 直接测量量的数据处理方法（一）单次直接测量的数据处理方法在许多情况下，多次测量是不可能的（如稍纵即逝的现象），有时多次测量也是不必要。这时可以用一次测量值作为测量结果的最佳值。因为测量次数为，则这时A类标准不确定度为零，即；合成标准不确定度即为；总不确定度。测量结果表示为：（二）多次直接测量的数据处理方法计算被测量的最佳值；根据实际情况，计算各个标准不确定度、；计算标准合成不确定度；计算总不确定度测量结果表示： （单位）二、间接测量量的数据处理方法设间接测量量为N是n个相互独立直接测量量x1,x2,x3,xn的函数，即 ，各直接测量量的总不确定度为、，相对不确定度为。则：1间接测量量的平均值：）；2间接测量量的不确定度（由不确定度传递公式计算）：3测量结果表示： （单位）注意：当时，则可以忽略B类标准不确定度对测量结果的影响，取；当时，则可以忽略A类标准不确定度对测量结果的影响取。三、不确定度传递公式（一）加减运算函数式：不确定度传递公式：（二）积、商、指数函数先求相对不确定度，再求绝对不确定度。运算时先取对数，然后对每个直接测量求偏微分。设间接测量N与直接测量量的函数关系为：，则：间接测量N不确定度： 或者先求相对不确定度，再求不确定度。首先对函数取自然对数，再求微分，则： 间接测量N相对不确定度： 常见函数的不确定度传递公式有：函数关系不确定度传递公式例6 用一电压表测量某电压10次，得到下列数据 测量次数12345678910电压（V）1.531.501.521.511.551.521.491.531.541.48又知未通电时电压表的读数为0.01V，由电压表的精度等级产生的不确定度为0.03V，求不确定度及测量结果。解：由题意可修正系统不确定度为 ，不可修正系统不确定度。 测量平均值为： A类标准不确定度为： 消除可修系统正不确定度后，测量值为： 标准合成不确定度为： 不确定度为： （不确定度有效数字保留一位）测量结果表示为：例7 测某电阻R上消耗的电功率P，直接测的其两端电压为V=(1.420.02)V,通过R的电流为I=（1.250.03），求其实验结果P。解：求电功率的平均值：利用不确定度传递公式求，A类不确定度：注意：将形式进行计算是错误的。例8 利用分光计测三棱镜材料的折射率的公式为测的顶角，最小偏向角，求该材料折射率的测量结果。解：将折射公式取对数并求全微分利用将、和分别换成、和，则相对不确定度：将 ，代入上式，相对不确定度材料的折射率为：绝对不确定度为：测量结果为： 四、 列表法处理数据列表法就是将一组有关的实验数据和计算过程中的数值依一定的形式和顺序列成表格。特点是结构紧凑，简单明了，便于比较、分析和查找。同时，易于及时发现问题，有助于找出各物理量之间的相互关系和变化规律。列表时要注意：1、表格的设计要利于记录、运算和检查。2、表中涉及到的各物理量，其符号、单位均要交代清楚。如果整个表中单位都是一样的，可将单位注明在表的上方。3、表中的直接测量值和最后结果应能正确地反映测量误差，即需将有效位数填写正确。中间过程的计算值可以多保留一位，也可以与测量值有效数字一致。例11 求矩形面积S 。将五次测得长L、宽B的数值填入表1中。 表1 单位（cm）物理量测量仪器分度值测量次数平均值取值12345长L米尺0.112.0212.0112.0312.0112.0212.01812.02Li0.0020.0080.010.0080.0020.0060.05宽H卡尺0.0024.6244.6224.6204.6224.6244.62224.622Hi0.00080.00020.0010.00020.00080.00060.002解：A类标准不确定度 =0.093%B 类不确定度：因为两种测长仪器的仪器示值不确定度不一样。米尺：游标卡尺：标准合成不确定度： =不确定度：=0.270.3（cm）2测量值：说明：1、表中“平均值”一栏为计算的数值，“取值”一栏是由于考虑到仪器示值不确定度大于A类标准不确定度而增加的一栏。表中的数值在计算过程中，其有效数字多保留了一位。2、表中所有单位均相同,在表左上方标出。若表中有少数物理量单位不同，可单独注明。 五、 作图法处理数据作图法是在坐标纸上用图形描述各物理量之间的关系的一种方法。优点：可以形象、直观地表示出物理量的变化规律，便于寻找实验规律和总结经验公式。 具有延展性。测量点的总数目是有限的。通过图形的延展，可以推知未测量点的情况，甚至可以对测量范围以外的变化趋势作出推测。 可以方便地得到许多有用的参量。例如最大值、最小值、极值，直线斜率和截距，弧形的曲率等。（一） 作图的规则1、选用合适的坐标纸。坐标纸的大小及坐标轴的比例，应根据所测数据有效数字和结果的需要来定。2、确定坐标轴。通常以横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。画出坐标轴的方向，表明其所代表的物理量和单位，并在坐标轴上按需要的比例将坐标轴分格，确定坐标轴的标度，并标明标度的数值。坐标轴的最小分格与所测数据有效数字中最后一位可靠数字的尾数一致。分度应使每一个点在坐标纸上都能迅速方便的找到，凡是使图上难以读数的分度均认为不合格。尽量使图线比较对称的充满整个图纸，不要使图纸偏于一边或一角。因此，坐标轴的起点不一定要从零点开始。3、标出坐标点根据测量数据，用十字叉“+”在图上标出个点位置。当一个图上有多条曲线时，则用不同的标记如“”、“”，进行标记，以示区别；一般不用“.”做标记。作完图后标点“+”也不要擦掉。4、连接实验曲线用直尺、曲线板、削尖的硬铅笔，穿过所有坐标点画出光滑曲线或直线，除校准曲线外，不允许连成折线或“蛇线”。图线不一定要通过每一个数据点，但要求数据点均匀分布在的图线两旁，且离曲线较近，图线起平均值的作用。（二） 图解法示例解析根据作好的图线，可以用解析方法，进一步得出曲线方程、求出方程参数。以直线图解法为例。设直线的一般方程为。画出实验直线后，就可以用实验图解法求出方程中的参数a和b。选点在直线上任取两点 ()和()（其x坐标最好是整数），用不同的实验点符号将它们标出来，并注明其坐标的读数。为了减少相对误差，所取两点应在实验范围内尽可能彼此相隔远一些，但不能取原始数据。因为原始数据不一定在此直线上。求斜率求截距b如果坐轴的起点为零，则截距可以直接从图中读出；如果起点不为零，则可用下式计算图0-5-1六、最小二乘法与线性拟合用图解法处理数据虽然有许多优点，但它是一种较为粗略的数据处理方法，因为在绘图中人工拟合曲线有一定的主观随意性。不同的人用同一组测量数据作图，其结果一般是不相同的，因而，图解法的结果往往不是最佳的、唯一的，所以用图解法处理数据时，一般不求不确定度。（一） 最小二乘法原理最小二乘法处理数据可以得到最佳的、唯一的结果。所得的变量之间的函数关系称为回归方程，最简单的回归方程是一元线性回归方程。最小二乘法的原理是：找到一条最佳的拟合直线，在这条直线上各点相应的y值与测量值对应纵坐标值之偏差的平方和在所拟合中应是最小的。假设物理量y是x的线性函数，即在相同实验测量条件下，测得自变量的值为，对应的物理量依次为值。用这一组数据，根据最小二乘法原理去求直线的经验方程，也就是令从直线上的一点到测得的数据点，其函数值（对同一xi）的偏差的平方和为极小值，根据统计理论，有（二） 相关性讨论如果实验是在已知线性函数关系下进行的，那么用上述最小二乘法进行线性拟合，可得到最佳直线及其截距b和斜率a，从而得到回归方程。如果实验是要通过x、y的测量来寻找经验公式，则还应判别由上述线性拟合所得的线性方程是否恰当。这可由x、y的相关系数来判别。相关系数的定义：式中。相关系数大小表示了相关程度好坏。当或接近1时，表明实验数据x和y完全线性相关，拟合直线通过全部测量点。当 时，表示x和y是相互独立的变量，完全线性不相关；当1时，表示x和y的测量值线性不好，越小线性越差。因此用直线拟合法处理数据时要算相关系数。具有二维统计功能的计算器有直接计算r、a、b的功能，并有专门的按键“”及“a”、“b”键。七、平均法所谓平均法，就是用于处理方程数目多于变量个数的一种方法。采取把数据组合并，得出与待定参量相同方程数，然后联立求解方程组，得出参量的数值例12 在简谐振动研究实验中，则弹簧振子的振动周期为：写成： 即是的线性函数。是弹簧振子的质量，是弹簧的等效质量，K是弹簧振子的弹性系数。数据填写如表2中。表2：i12345678m1i05.0010.0015.0020.0025.0030.0035.00Ti20.5581.0001.4621.8552.3072.7563.1403.553将上表2中的数据代入上述弹簧振子的周期公式，得下列方程组：将前、后四个方程各相加合并为一个，即可以解得显然，不同的合并方法会得出不同的结果。平均法处理数据是简便的，但是它也不是在严格统计理论基础之上的。最好的方法是建立在统计理论基础之上的最小二乘法的回归法处理数据。八、 逐差法所谓逐差法，就是把一组等精度测量数据进行逐项相减，或者分成高低两组，实行对应项测量数据相减。适用条件是自变量等距离变化，自变量的测量误差远小于因变量误差。现以拉伸法测金属丝杨氏模量为例加以说明：实验是采用每次加一个0.5kg的砝码来改变受力，可保证等距变化，且砝码读数误差相对于长度的误差完全可忽略，因而完全符合逐差所要求的条件。负荷与伸长量的关系数据填如表3中。表3：次数（k）负荷（kg）伸长量（cm）00.00.1110.50.4221.00.7331.51.0442.01.3652.51.6463.01.9573.52.35根据逐差法的要求把上表中的8组数据分成03和47两组。这样把相隔0.5kg一次测量转化成了相隔2kg测量一次，即有 从而有即每增加2kg力，金属丝的平均伸长量为。习题1、试指出下列情况产生的误差是系统误差还是随机误差。（1）因气温变化引起的米尺伸缩； （2）天平的零点漂移；（3）仪表的零点不准； （4）水银温度计的毛细管不均匀；（5）电表读数时的视差。2、为什么多次测量，取平均值的方法可以减小测量不确定度，在实际测量中，为什么并非重复测量的次数越多越好？3、为什么衡量不同大小待测量的可靠程度要用不确定度而不用绝对不确定度？试比较下列各量的不确定度哪个大？m=(61.32g, m=(0.451g, m=(0.0024g4、根据有效数字的概念，正确表示下列结果， (123.480.1)，(23.5780.01)，(584.211)，(199.997土0.01)。5、将下列各数据取三位有效数字。1.0751 cm，0.86243 m，27.052 g，3.1415 8，0.0301 kg，257000 s，6370 km 。6、一长方形的长、宽、高分别为8.56cm, 4.32cm,6.21cm. 用计算器算得其体积为229.64083cm,你认为应该取几位有效数字。7、计算下列数据的平均值和A类标准不确定度，把结果写成的形式，并比较其相对不确定度。(1) (cm)：4.298， 4.256， 4.278， 4.190， 4.62， 4.263， 4.242， 4.272， 4.216。 (2) (kg)：0.0135， 0.0126， 0.0128， 0.0133， 0.0130 (3) (s)：100.1， 100.0, 100.1， 100.2， 100.0。 8、在长度测量中，得一圆柱体直径数据(单位为厘米)如下： 0.1327， 0.1325， 0.1S29， 0.1326， 0.1328， 0.1327， 0.1326， 0.1326， 0.1328，0.1325。已知仪器误差为0.0004厘米，试将结果写成的形式。9、比较下列三个量的A类标准不确定度和相对不确定度哪个大?哪个小? (1) (2) (3) 10、单位变换： (1)m=（2.395土0.001）kg= g= mg= t（吨） (2)角度 (分) 11、用有效数字运算方法计算下列各式： 302.1+3.12+0.385= . 1.58362.023.863= 12.3612.16= 12、计算结果及不确定度： (1) 其中A=（0.56280.0002）cm，B=（85.10.2）cm，C=（3.274土0.002）cm。(2)v=（5001）cm,求? (3) 其中13、求下列各式的不确定度公式：14、. 写出用下列仪器单次测量的不确定度。（1）最小分度为1mm的米尺； （2）最小分度为2C的温度计（3）最小分度为0.05g的天平； （4）精度为0.02mm的卡尺；（5）感量为0.02g的天平； （6）0.5级、量程为150mA的电流表；（7）2.5级量程为7.5V的电压表； （8）0.1级、使用阻值500的电阻箱。15、设圆柱体的高为A=（10.00直径为d=(5.00求体积。实验一 传感器法测定空气的比热容比实验目的1、用绝热膨胀法测定空气的比热容比。2、观测热力学过程中状态变化及基本物理规律。3、学习气体压力传感器和电流型集成温度传感器的原理及使用方法。实验仪器玻璃瓶，扩散硅压力传感器，电流型集成温度传感器，三位半数字电压表（测空气压强），四位半数字电压表（测空气温度），大气压强计等。 实验原理气体的定压比热容CP和定容比热容CV之比（CPCV）称为气体的比热容比，又称气体的绝热指数。气体的比热容比是一个常用的物理量，也是一个重要的热力学常数，在热力学方程中经常用到它，在工程技术的应用中起着重要的作用，热机的效率及声波在气体中的传播特性等都与之有关。对理想气体的定压比热容Cp和定容比热容Cv之关系由下式表示： CpCv = R （3-6-1）（3-6-1）式中，R为气体普适常数。气体的比热容比值： =Cp/Cv （3-6-2）如图3-6-2所示，我们以贮气瓶内空气作为研究的热学系统，试进行如下实验过程：（1） 首先打开放气阀C2，贮气瓶与大气相通，再关闭C2，瓶内充满与周围空气同温同压的气体。（2） 打开充气阀C1，用充气球向瓶内打气，充入一定量的气体，然后关闭充气阀C1。此时瓶内空气被压缩，压强增大，温度升高。等待内部气体温度稳定，即达到与周围温度平衡，此时的气体处于状态I（P1，V1，T0）。（3） 迅速打开放气阀C2，使瓶内气体与大气相通，当瓶内压强降至P0时，立刻关闭放气阀C2，将有体积为V的气体喷泻出贮气瓶。由于放气过程较快，瓶内保留的气体来