高考数学总复习 第五单元 第七节 正、余弦定理课件.ppt

第七节正 余弦定理 解三角形 1 在 abc中 已知a b b 45 解三角形 2 在 abc中 已知a 2 c b 45 求b及a 分析 1 已知三角形的两边及一边的对角求其他边角 应选用正弦定理 2 已知三角形的两边及其夹角求对边及其他角 应选用余弦定理 解 1 根据正弦定理 得sina sinb a b a 60 或a 120 当a 60 时 c 180 45 60 75 c 当a 120 时 c 180 45 120 15 c a 60 c 75 c 或a 120 c 15 c 2 b2 a2 c2 2accosb 2 2 2 2 2 cos45 12 2 4 1 8 b 2 方法一 cosa a 60 方法二 sina sinb sin45 又 2 4 1 4 3 8 2 2 1 8 3 6 a c 即0 a 90 a 60 规律总结所谓解三角形 就是在已知一些三角形的边角的情形下 利用正余弦定理求三角形其余边角的运算 需要熟记正余弦定理 利用三角形的性质 正确判断解的个数 变式训练1在 abc中 cosb cosc 1 求sina的值 2 设 abc的面积s abc 求bc的长 解析 1 由cosb 得sinb 由cosc 得sinc sina sin b c sinbcosc cosbsinc 2 由s abc 得 ab ac sina 由 1 知sina 故ab ac 65 又ac ab 故 ab2 65 解得ab 所以bc 有关三角形的面积 在 abc中 内角a b c对边的边长分别是a b c 已知c 2 c 1 若 abc的面积等于 求a b 2 若sinc sin b a 2sin2a 求 abc的面积 分析 1 联合三角形面积公式和余弦定理解方程组 求两边长a b 2 由已知等式求边角或其关系 由角和边再求面积 解 1 由余弦定理及已知条件得 cos 即a2 b2 ab 4 又 abc的面积等于 absinc 得ab 4 联立方程组解得a 2 b 2 2 由题意得sin b a sin b a 4sinacosa 即sinbcosa 2sinacosa 当cosa 0时 a b a b 当cosa 0时 得sinb 2sina 由正弦定理得b 2a 联立方程组解得a b abc的面积s absinc 规律总结有关三角形面积的问题 一类是求面积 另一类是利用三角形面积求其他值 不论哪种形式的面积问题 都需要借助正余弦定理 变式训练 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且满足cos 1 求 abc的面积 2 若c 1 求a的值 解析 1 cosa 2cos2 1 2 1 又 a 0 sina 而a a a a cosa bc 3 bc 5 abc的面积为bcsina 5 2 2 由 1 知bc 5 而c 1 b 5 a 2 判定三角形的形状问题 在 abc中 a b c分别表示三个内角a b c的对边 如果 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 试判断三角形的形状 分析可以用两种方法 其一 将所给等式变形 再利用正弦定理将等式全化为角的形式 从角上判断三角形的形状 其二 将两角和差展开 再利用正弦 余弦定理将角化为边的形式 从边上判断三角形的形状 解方法一 已知等式可化为a2 sin a b sin a b b2 sin a b sin a b 2a2cosasinb 2b2cosbsina 由正弦定理 得sin2acosasinb sin2bcosbsina sinasinb sinacosa sinbcosb 0 sin2a sin2b 0 2a 2 0 2b 2 2a 2b或2a 2b 即 abc为等腰三角形或直角三角形 方法二 同 方法一 可得2a2cosasinb 2b2cosbsina 由正弦定理可得 a2b ab2 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 故 abc为等腰三角形或直角三角形 规律总结判断三角形形状 通常有两种方法 一用正弦定理或余弦定理 将所给等式全化为边的关系 由边的关系判断三角形形状 二用正弦定理或余弦定理 将所给等式全化为角的关系 由角的关系判断三角形形状 变式训练3在 abc中 若 试判断 abc的形状 解析 由已知 方法一 利用正弦定理边化角 由正弦定理 得 即sinccosc sinbcosb sin2c sin2b b c均为 abc的内角 2c 2b或2c 2b 180 b c或b c 90 abc为等腰三角形或直角三角形 方法二 由余弦定理 得 即 a2 b2 c2 c2 b2 a2 c2 b2 a2c2 c4 a2b2 b4 即a2b2 a2c2 c4 b4 0 a2 b2 c2 c2 b2 c2 b2 0 即 b2 c2 a2 b2 c2 0 b2 c2或a2 b2 c2 0 即b c或a2 b2 c2 abc为等腰三角形或直角三角形 正 余弦定理的综合应用 12分 在 abc中 a b c分别是 a b c的对边长 已知a b c成等比数列 且a2 c2 ac bc 求 a的大小及的值 分析因给出的是a b c之间的等量关系 要求 a 需找 a与三边的关系 故可用余弦定理 由b2 ac可变形为 a 再用正弦定理可求的值 解 a b c成等比数列 b2 ac 又a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 3分在 abc中 由余弦定理得cosa a 60 7分在 abc中 由正弦定理得sinb 9分 b2 ac a 60 sin60 12分 规律总结正 余弦定理与其他知识的综合应用 要注意从形式和本质两个方面进行沟通 如上述余弦定理和等比数列的联系 即是等式形式上的联系 变式训练4 2010 芜湖模拟 在 abc中 角a b c所对边长分别为a b c 设a b c满足条件b2 c2 bc a2和 求角a和tanb的值 解析 由b2 c2 bc a2 得 即cosa 又0 a a 又 又 c a b b sin sinb 整理得cosb sinb sinb sinb cosb sinb tanb 1 正弦定理 2r r为外接圆半径 作用 已知两角及一角对边求其余边与角 已知两边及一边对角 求其余边与角 解的情况如下表 2 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosa b2 c2 a2 2cacosb c2 a2 b2 2abcosc 作用 已知两边及夹角求其余边与角 已知三边求角 3 三角形中的常见结论 1 sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc 2 sin cos cos sin 3 a b sina sinb 4 若 abc是锐角三角形 则sina cosb sinb cosa 在 abc中 三个内角a b c对应三边长分别为a b c 若c 3b 求的取值范围 错解 3 4sin2b 0 sin2b 1 1 3 4sin2b 3