第十一章 第1讲 简谐运动受迫振动

选修3 4第十一章振动和波相对论简介第1讲简谐运动受迫振动 知识点1简谐运动单摆 周期公式 1 简谐运动物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动 2 简谐运动的特征 1 动力学特征 回复力与位移大小成 比 总指向 2 运动学特征 x v a均按 或余弦 规律发生周期性变化 注意v a的变化趋势相反 3 能量特征 系统的机械能守恒 振幅A不变 正 平衡位 置 正弦 3 简谐运动的两种模型 质量 回复力 伸长 足够小 F kx 知识点2简谐运动的公式和图像 1 简谐运动的表达式 1 动力学表达式 F kx 其中 表示回复力与 的方向相反 2 运动学表达式 x Asin t 其中A代表 表示简谐运动的快慢 t 代表简谐运动的相位 叫做 位移 振幅 初相 2 简谐运动的图像 1 从 开始计时 函数表达式为x Asin t 图像如图甲所示 2 从 处开始计时 函数表达式为x Acos t 图像如图乙所示 平衡位置 最大位移 知识点3受迫振动和共振 1 受迫振动 1 概念 振动系统在周期性 作用下的振动 2 特点 受迫振动的频率等于 的频率 跟系统的固有频率 驱动力 驱动力 无关 2 共振 1 现象 当驱动力的频率等于系统的 时 受迫振动的振幅最大 2 条件 驱动力的频率等于 3 特征 共振时振幅 4 共振曲线 如图所示 固有频率 固有频率 最大 思考辨析 1 机械振动就是简谐运动 2 弹簧振子做简谐运动 加速度最大时 速度最大 3 做简谐运动的弹簧振子 若两时刻振子运动位移的大小相等 方向相同 则两时刻时间差一定等于周期的整数倍 4 做简谐运动的单摆 振幅越大周期越大 5 摆球的质量增加为原来的4倍 摆球经过平衡位置时速度减为原来的时 则单摆的频率不变 振幅不变 6 做简谐运动的水平弹簧振子 在半个周期内 弹力做的功一定为零 7 简谐运动的图像代表质点的振动轨迹 分析 只有满足F kx关系的回复力作用下的机械振动才是简谐运动 故 1 错 弹簧振子做简谐运动 加速度最大时 速度最小 故 2 错 做简谐运动的弹簧振子 若两时刻振子运动位移的大小相等 方向相同 由振动图像可知两时刻时间差不一定等于周期的整数倍 故 3 错 做简谐运动的单摆 周期与振幅无关 故 4 错 在平衡位置 即最低点 时的动能当m增为原来的4倍 速度减为原来的 时 动能不变 最高点的重力势能也不变 但是由于摆球的质量增大了 势能Ep mgh不变 m大了 h就一定变小了 也就是说 振幅减小了 故 5 错 根据动能定理 在某一段时间内弹力做的功等于振子的动能的增量 在时间相差半个周期内的两个时刻 振子的速度大小即速率一定相等 所以动能不变 在这段时间内弹力做功为零 故 6 对 简谐运动的图像不是振动质点的轨迹 简谐运动图像实质是位移 时间图像 故 7 错 考点1简谐运动的特征 考点解读 1 动力学特征 F kx 表示回复力的方向与位移方向相反 k是比例系数 不一定是弹簧的劲度系数 2 运动学特征 简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反 为变加速运动 远离平衡位置时 x F a Ep均增大 v Ek均减小 靠近平衡位置时则相反 深化理解 3 运动的周期性特征 相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同 4 对称性特征 相隔 n为正整数 的两个时刻 质点所处位置必定与原来的位置关于平衡位置对称 所有的运动描述量大小相等 如果为矢量则方向相反 质点在距平衡位置等距离的两个点上具有大小相等的速度 加速度 在平衡位置两侧相等距离上运动时间也是相同的 5 能量特征 振动的能量包括动能Ek和势能Ep 简谐运动过程中 系统动能与势能相互转化 系统的机械能守恒 典例透析1 2014 漳州模拟 如图所示 弹簧下面挂一质量为m的物体 物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动 当物体振动到最高点时 弹簧正好为原长 弹簧在弹性限度内 则物体在振动过程中 A 弹簧的最大弹性势能等于2mgAB 弹簧的弹性势能和物体动能总和不变C 物体在最低点时的加速度大小应为2gD 物体在最低点时的弹力大小应为mg 解题探究 1 物体振动过程的对称性特征 在 位置两侧等距离的两个点 大小相等 2 弹簧振子平衡位置的回复力 3 物体振动过程的能量特征 系统 守恒 平衡 速度 加速度 回复力 为零 机械能 解析 选A 据机械能守恒定律可知物体在振动过程中 弹簧的弹性势能和物体动能 重力势能的总和不变 在最低点时弹性势能最大 应为2mgA A选项正确 B选项错误 物体振动到最高点时 弹簧正好为原长 物体只受重力作用 加速度大小为g 据物体振动过程的对称性可知在最低点时的加速度大小应为g 弹力大小应为2mg C D选项错误 变式训练 2014 三明模拟 光滑的水平面上放有质量分别为m和m的两木块 下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连 弹簧的另一端固定在墙上 如图所示 已知两木块之间的最大静摩擦力为f 为使这两个木块组成的系统能像一个整体一样地振动 系统的最大振幅为 解析 选C 由两木块之间的最大静摩擦力为f 以质量为m的木块为研究对象 可得整体的最大加速度则kA ma 由此得最大振幅故选C 变式备选 如图所示 在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m M m 的A B两物体 箱子放在水平地面上 平衡后剪断A B间细线 此后A将做简谐运动 当A运动到最高点时 木箱对地面的压力为 A MgB M m gC M m gD M 2m g 解析 选A 由平衡条件可知线断时A受到的回复力为mg 当A运动到最高点时回复力大小应为mg 方向向下 因而此时弹簧的弹力等于零 木箱对地的压力为Mg 故A正确 考点2简谐运动的图像 考点解读 1 由图像可以得出质点做简谐运动的振幅 周期 2 可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移 3 可以根据图像确定某时刻质点回复力 加速度和速度的方向 回复力和加速度的方向 因回复力总是指向平衡位置 故回复力和加速度在图像上总是指向t轴 拓展延伸 速度的方向 速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定 下一时刻位移如增加 振动质点的速度方向就是远离t轴 下一时刻位移如减小 振动质点的速度方向就是指向t轴 典例透析2 2014 南平模拟 如图所示 一底端有挡板的斜面体固定在水平面上 其斜面光滑 倾角为 一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上 上端与物块A连接在一起 物块B紧挨着物块A静止在斜面上 某时刻将B迅速移开 A将在斜面上做简谐运动 已知物块A B的质量分别为mA mB 若取沿斜面向上为正方向 移开B的时刻为计时起点 则A的振动位移随时间变化的图像是 解题探究 将B移开后 A在斜面上做简谐运动 1 平衡位置时弹簧压缩量为 2 A做简谐运动的振幅为 3 开始计时时刻 A所处的位置是简谐运动 最大位移处 负向 解析 选B 物块B紧挨着物块A静止在斜面上时 弹簧压缩量是B移开后 A在斜面上做简谐运动 在平衡位置有mAgsin kx 即弹簧压缩量为因此A做简谐运动的振幅为选项A C错误 开始计时时刻 A所处的位置是简谐运动负向最大位移处 且沿斜面向上为正方向 振动位移随时间变化的图像是B 选项D错误 总结提升 利用图像分析振动物理量的方法 1 简谐运动的图像不是振动质点的轨迹 简谐运动图像实质是位移 时间图像 对同一振动的物体 图像的形状与起始时刻的选取和正方向的规定有关 2 要将图像所提供的信息与简谐运动特征有机结合起来 并注意发掘隐含信息 这类问题一般都需要明确振动的周期和振幅及某时刻速度方向 并在此基础上沿着x F a Ep Ek思路分析各量的变化 3 分析此类问题的关键是建立起振动图像和振动过程的联系 结合初始时刻的位置 周期和振幅来计算一定时间内的路程 若初始时刻的位置在平衡位置或最大位移处 则路程若初始时刻的位置不在特殊位置 且时间不满足半周期的整数倍 则路程应结合函数关系进行计算 变式训练 如图所示为某弹簧振子在0 5s内的振动图像 由图可知 下列说法中正确的是 A 振动周期为5s 振幅为8cmB 第2s末振子的速度为零 加速度为负向的最大值C 第3s末振子的速度为正向的最大值D 从第1s末到第2s末振子在做加速运动 解析 选C 根据图像 周期T 4s 振幅A 8cm A错误 第2s末振子到达波谷位置 速度为零 加速度最大 但沿x轴正方向 B错误 第3s末振子经过平衡位置 速度达到最大 且向x轴正方向运动 C正确 从第1s末到第2s末振子经过平衡位置向下运动到达波谷位置 速度逐渐减小 D错误 考点3受迫振动和共振 考点解读 1 自由振动 受迫振动和共振的比较 对比分析 2 共振曲线如图所示 横坐标为驱动力频率f驱 纵坐标为振幅A 它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响 由图可知 f驱与f固越接近 振幅A越大 当f驱 f固时 振幅A最大 典例透析3 下表表示某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系 若该振动系统的固有频率为f固 则 A f固 60HzB 60Hz f固 70HzC 50Hz f固 60HzD 以上选项都不对 解题探究 1 振动系统的固有频率由 与 无关 2 共振曲线反映振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系是 系统本身决定 驱动力 驱动力频率越接近系统的固有频率 系统的振幅越大 解析 选C 由如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大 受迫振动的振幅越小 f驱与f固越接近 受迫振动的振幅越大 并从中看出f驱越接近f固 振幅的变化越慢 比较各组数据知f驱在50 60Hz范围内时 振幅变化最小 因此 50Hz f固 60Hz 故C正确 变式训练 正在运转的机器 当其飞轮以角速度 0匀速转动时 机器的振动不强烈 切断电源 飞轮的转动逐渐慢下来 在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动 此后飞轮转速继续变慢 机器的振动也随之减弱 在机器停下来之后若重新启动机器 使飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到 0 在这一过程中以下判断正确的是 A 机器一定不会发生强烈的振动B 机器一定还会发生强烈的振动 C 若机器发生强烈振动 强烈振动可能发生在飞轮角速度为 0时D 若机器发生强烈振动 强烈振动时飞轮的角速度肯定为 解析 选B 飞轮在转速逐渐减小的过程中 机器出现强烈的振动 说明发生共振现象 共振现象产生的条件是驱动力频率等于系统的固有频率 故当机器重新启动时 飞轮转速缓慢增大的过程中 一旦达到共振条件 机器一定还会发生强烈的振动 A错 B对 由题意可知 发生强烈共振时 飞轮的角速度一定小于 0 但不一定是 C D错 故选B 资源平台 振动的处理方法在综合问题中的应用如图甲 在x 0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场 电场强度大小为E 磁感应强度大小为B 一质量为m 带电量为q q 0 的粒子从坐标原点O处 以初速度v0沿x轴正方向射入 粒子的运动轨迹见图甲 不计粒子的重力 现只改变入射粒子初速度的大小 发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹 y x曲线 不同 但具有相同的空 间周期性 如图乙所示 同时 这些粒子在y轴方向上的运动 y t关系 是简谐运动 且都有相同的周期当入射粒子的初速度大小为v0时 其y t图像如图丙所示 求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A 并写出y t的函数表达式 规范解答 设粒子在y方向上的最大位移为ym 图丙曲线的最高点处 对应的粒子运动速度大小为v2 方向沿x轴 因为粒子在y方向的运动为简谐运动 因而在y 0和y ym处粒子所受的合外力大小相等 方向相反 则 qv0B qE qv2B qE 由动能定理有 又Ay ym 由 式解得 可写出图丙曲线满足的简谐运动y t函数表达式为答案 1 如图为一弹簧振子的振动图像 由此可知 A 在t1时刻 振子的动能最大 所受的弹力最大B 在t2时刻 振子的动能最大 所受的弹力最小C 在t3时刻 振子的动能最大 所受的弹力最小D 在t4时刻 振子的动能最大 所受的弹力最大 解析 选B 由振动图像可知 质点t2和t4时刻在平衡位置处 t1和t3时刻在最大位移处 根据弹簧振子振动的特征 弹簧振子在平衡位置时的速度最大 动能最大 加速度为零 弹力为零 B对 D错 在最大位移处 速度为零 动能最小 加速度最大 弹力最大 A C错 2 2014 泉州模拟 如图所示 质量相同的四个摆球悬于同一根横线上 四个摆的摆长分别为l1 2m l2 1 5m l3 1m l4 0 5m 现以摆3为驱动摆 让摆3振动 使其余三个摆也振动起来 则摆球振动稳定后 A 摆1的振幅一定最大B 摆4的周期一定最短C 四个摆的振幅相同D 四个摆的周期相同 解析 选D 让摆3振动 则其余三个摆做受迫振动 四个摆的周期相同 选项B错误 D正确 摆1与驱动摆3固有周期相差多 振幅小 选项A C错误 3 2013 上海高考 做简谐振动的物体 当它每次经过同一位置时 可