高考数学总复习 第二单元 第四节 函数的奇偶性、周期性课件.ppt

第四节函数的奇偶性 周期性 分析首先应考虑定义域是否关于原点对称 然后根据定义域 图象或性质进行判断f x f x 的关系 解 1 由得 函数f x 的定义域为 x 6 x 0或0 x 6 函数的定义域不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 2 函数定义域为r f x log2 x log2 log2 log2 x f x f x 为奇函数 3 当a 0时 f x x2 x f x f x x r 此时f x 为偶函数 当a 0时 f a a2 a2 2a2 f a 2a2 2 a f a f a f a f a 此时f x 是非奇非偶函数 规律总结判断函数的奇偶性应先求出函数的定义域 看其是否关于原点对称 若对称 在此基础上对解析式能化简的要化简 然后再判断f x f x 或f x f x 或f x f x 0或 1 对分段函数奇偶性的判定 要在深刻理解分段函数的基础上用奇偶性的定义去判断 并注意规律的总结 对含参数的函数要分类讨论 变式训练1设函数f x 在 内有定义 下列函数 y f x y xf x2 y f x y f x f x 中必为奇函数的有 解析 中f x xf x 2 xf x2 f x 中f x f x f x f x f x f x 故填 答案 函数奇偶性的应用 设a 0 f x 是r上的偶函数 1 求a的值 2 证明 f x 在 0 上是增函数 分析由f x f x 得到关于x的恒等式 从而求得参数a 解 1 f x 是r上的偶函数 f x f x 即 ex e x 0 ex e x不可能恒为0 a 0 又a 0 a 1 2 证明 设任意x1 x2 0 且x1 x2 则f x1 f x2 ex1 ex1 ex2 又e 1 x 0 ex1 ex2 ex1 x2 1 ex1 ex2 0 1 0 f x1 f x2 f x 在 0 上是增函数 规律总结 1 定义都是充要的关系 2 求参数值方法有两种 一是通过恒等式 二是注意若奇函数定义域有零 则f 0 0 变式训练 2010 江苏高考 设函数f x x ex ae x x r是偶函数 则实数a 解析 由于g x x是奇函数 f x 是偶函数 所以 x ex ae x应为奇函数 由 0 0得 a 1 符合题意 答案 1 函数y f x x 0 是奇函数 且当x 0 时是增函数 若f 1 0 求不等式f 0的解集 分析根据奇函数在对称区间上 单调性相同 得到f x 在 0 上的单调性 然后脱去 f 符号 转化成自变量x的不等式 解 函数f x 是奇函数 且在x 0 上是增函数 函数f x 在 0 上也是增函数 f 1 0 f 1 0 则f 0可化为0 x2 x 1 或x2 x 1 解 得1 x 2 解 得x 故不等式的解集为 规律总结函数的奇偶性 单调性 周期性常常综合交汇考查 此类问题不要忽视定义域 变式训练3已知偶函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足f 2x 1 f的x的取值范围为 a b c d 解析 f x 是偶函数 f x f x f 2x 1 f 2x 1 由f 2x 1 f得f 2x 1 f 2x 1 x 故选a 答案 a 奇偶函数图象的对称性 12分 已知f x g x 都是定义在r上的奇函数 若f x af x bg x 2在区间 0 上的最大值为5 求f x 在 0 上的最小值 分析转化成求函数f x 2的最小值问题 首先它为奇函数 由奇函数图象关于原点对称 可求解 解令f x 2 af x bg x 1分 f x g x 均为奇函数 a b为常数 af x bg x 也为奇函数 4分即f x 2为奇函数 且f x 2的最大值为3 6分又奇函数图象关于原点对称 8分 f x 2的最小值为 3 10分 f x 在 0 上的最小值为 1 12分 规律总结活用奇 偶 函数图象的对称性 变式训练 2010 全国高考新课标卷 设偶函数f x 满足f x 2x 4 x 0 则 x f x 2 0 a x x 2或x 4 b x x 0或x 4 c x x 0或x 6 d x x 2或x 2 解析 当x 0时 f x 2x 4 0 x 2 又 f x 是偶函数 x r时 f x 0的解集为 x x2 f x 2 0的解集为 x x4 故选b 答案 b 1 判定函数的奇偶性 首先要检验其定义域是否关于原点对称 然后再严格按照奇偶性的定义经过化简 整理 再与f x 比较得出结论 2 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分 一半 区间上 是简化问题的一种途径 3 函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题 运用函数的奇偶性就是运用函数图象的对称性 4 要善于发现函数特征 图象特征 运用数形结合 定向转化 分类讨论的思想 整体代换的手段 从而简化解决问题的程序 求快求准 5 奇 偶 函数的定义域关于原点对称 6 既奇又偶的函数只有f x 0 定义域关于原点对称 7 若两函数公共定义域非空 则有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 8 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 9 若奇函数在原点有定义 则f 0 0 偶函数未必 10 f x ax3 bx2 cx d是奇函数 b d 0 f x ax3 bx2 cx d是偶函数 a c 0 11 函数f x a 是奇函数 f x 的图象关于点 a 0 对称 函数f x a 是偶函数 f x 的图象关于直线x a对称 12 f x 的图象关于直线x a和x b对称 f x 是周期函数且t 2 a b f x 的图象关于点 a 0 和 b 0 对称 f x 是周期函数且t 2 a b f x 的图象关于点 a 0 和直线x b f x 是周期函数且t 4 a b 13 f x a f x t 2a f x a t 2a c 0 已知奇函数f x 是定义在 2 2 上的减函数 若f m 1 f 2m 1 0 求实数m的取值范围 错解 f x 是定义在 2 2 上的奇函数 对任意x 2 2 有f x f x 由条件f m 1 f 2m 1 0 得f m 1 f 2m 1 f 1 2m f x 是定义在 2 2 上的减函数 m 1 1 2m 即m