《高数上总复习》PPT课件.ppt

高等数学 上 总复习 第一章函数与极限 内容提要与典型例题 1 理解函数的定义与特性 函数的三要素 定义域 值域 法则 四种特性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 一 函数 注意常用函数 复合函数 分段函数 初等函数 2 会求函数的定义域及函数表达式 二 极限 1 理解数列的极限的定义及性质 2 理解函数的极限的定义及性质 不存在 注意一个结论 应用 当分段函数在分段点左 右两侧表达式不同时 求函数在分段点的极限 3 理解无穷小与无穷大的概念 无穷小的阶的概念 会进行无穷小的比较 特别注意 等价无穷小 无穷小与极限的关系 其中 为 时的无穷小量 1 利用极限的运算法则 4 极限的计算 可简化求极限的过程 设 且x满足 时 则有 0 0 m n为非负整数 f 幂指函数的极限运算 2 利用连续函数的性质求极限 3 利用无穷小的运算性质 a 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量 b 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量 c 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 4 利用等价无穷小的替换简化计算 5 利用重要极限 或 6 利用极限的存在准则 夹逼定理单调有界数列必有极限 7 洛必达法则 求不定式的极限 注意 应用洛必达法则的条件 为有限数A 或为 方法 若 但此时又要注意若出现循环形式就要另谋他法了 例计算下列极限 三 连续 1 理解函数连续的定义 在 的某邻域内有定义 则称函数 设函数 且 函数 在点 1 在点 即 2 极限 3 连续必须具备下列条件 存在 有定义 存在 对自变量的增量 有函数的增量 左连续 右连续 函数 在点 连续有下列等价命题 注意 极限与连续的关系 极限连续 连续函数必有极限 有极限不一定是连续函数 第一类间断点 及 均存在 若 称 若 称 第二类间断点 及 中至少一个不存在 称 若其中有一个为振荡 称 若其中有一个为 为可去间断点 为跳跃间断点 为无穷间断点 为振荡间断点 2 会判断函数在一点是否连续性 若是间断点能够指出间断点的类型 3 理解闭区间上连续函数的性质 1 有界性与最大值最小值定理 2 零点定理与介值定理 第二章导数与微分 一 导数与微分的概念 1 导数的定义设函数 在点 存在 并称此极限为 则称函数 若 的某邻域内有定义 记作 2 导数定义的三种形式 例 设函数 求 切线方程 法线方程 3 导数的几何意义 4 左导数与右导数 定理函数 在点 且 可导的充分必要条件 是 注 求分段函数在分段点的导数要用导数的定义 例设函数 为了使函数在处连续且可导 应取什么值 的微分 定义 若函数 在点的增量可表示为 A为不依赖于 x的常数 则称函数 而称为 记作 即 在点 可微 5 微分的定义 定理 函数 在点可微的充要条件是 即 求微分的方法 函数连续 函数可导 有极限 函数可微 二 熟练应用公式及法则求函数的导数及微分 1 求下列函数的导数 2 求隐函数的导数及微分 例设函数由方程所确定 求 第三章导数的应用 1 微分中值定理及其相互关系 柯西中值定理 罗尔定理 2 微分中值定理的主要应用 1 研究函数或导数的性态 2 证明恒等式或不等式 3 证明有关中值问题的结论 解题方法 利用逆向思维 设辅助函数 一般 证明含一个中值的等式或根的存在 3 若结论中涉及含中值的两个不同函数 可用原函数法找辅助函数 多用罗尔定理 可考虑用柯 西中值定理 2 证明不等式多用拉格朗日中值定理 例证明不等式 当时 公式 称为的n阶泰勒公式 公式 称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 二 泰勒 Taylor 中值定理 阶的导数 时 有 其中 则当 带有佩亚诺 Peano 余项的n阶泰勒公式 称为麦克劳林 Maclaurin 公式 则有 在泰勒公式中若取 二 利用导数研究函数的性态 讨论函数的单调区间可以按以下步骤进行 1 确定函数的定义域 2 求 找出和不存在的点 以这些点为分界点 把定义域分成若干区间 3 在各个区间上判别的符号 以此确定各区间上的单调性 的连续性及导函数 例填空题 1 设函数 其导数图形如图所示 单调减区间为 极小值点为 极大值点为 提示 的正负作f x 的示意图 单调增区间为 在区间上是凸弧 拐点为 提示 的正负作f x 的示意图 形在区间上是凹弧 则函数f x 的图 2 设函数 的图形如图所示 3 求函数的极值 最值 极值 函数在定义域内部局部的最值 极值点 定义域内增 减区间的分界点 求函数极值点的方法 极值第一 第二判别法 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 极值第二判别法 判断驻点是否是极值点 最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 求函数最值的方法 1 求在内的极值可疑点 2 最大值 最小值 特别 当在内只有一个极值可疑点时 当在上单调时 最值必在端点处达到 若在此点取极大值 则也是最大值 小 对应用问题 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大值点或最小值点 小 例一房地产公司有50多套公寓要出租 当月租金 定为1000元时 公寓会全部租出去 当月租金每增 加50元时 就会多一套公寓租不出去 而租出去的 公寓每月需花费100元的维修费 试问房租定为多 少可获得最大收入 第四章不定积分 一 理解原函数与不定积分的概念 二 掌握不定积分的基本性质 三 求不定积分的基本方法 1 直接积分法 通过简单变形 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 2 换元积分法 代换 3 分部积分法 使用原则 1 由 易求出v 2 比 好求 解题技巧 把被积函数视为两个函