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第十三章 计数的原理 二项式定律及其应用 第68讲 二项展开式的通项的应用 点评 二项展开式的通项是求展开式中特殊项的重要工具 通常都是先利用通项由题意列方程 求出tr 1中的r 再求所需的某项 运算中 要特别注意r的取值范围及n r的大小关系 对于有三个项的二项式问题 应先把其中的两项并为一项 在应用二项式定理时 在展开式中 并为一项的再使用二项式定理 同时注意r k的大小关系 变式练习1 已知的展开式中没有常数项 n n 且2 n 8 求n的值 解析 先求的展开式的通项 0 r n 于是原式的展开式的项为 若展开式中有常数项 则n 4r n 4r 1 n 4r 2 故当展开式中没有常数项时 则只有n 4r 3 又2 n 8 所以r 2 则n 5 二项式系数与二项展开式的系数的比 解析 二项展开式的通项为 由条件知 得n 8 于是 1 令 得r 4 所以展开式中x的一次项是 解析 2 因为 n 0 r 8 r n 得r 0 4 8 对应的有理项为t1 x4 t5 t9 3 设第r项的系数最大 则 即 所以 解得2 r 3 于是系数最大的项为第3项和第4项 点评 二项式系数与二项展开式项的系数是不同的两个概念 要明确它们的区别 求展开式项的系数最大的项 关键是列出不等式组 正确应用组合数的计算方法 变式练习2 已知 n n 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10 1 求 1 展开式中各项系数的和 2 展开式中含的项 3 展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项 解析 展开式的通项为 依题意 得n 8 1 令x 1 则各项系数和为 1 2 8 1 2 通项 令8 5r 3 得r 1 所以展开式中含的项为 二项式系数与二项展开式的系数和 例3 在 2x 3y 10的展开式中 求 1 二项式系数的和 2 各项系数的和 3 奇数项 偶数项的二项式系数和 4 奇数项 偶数项系数的和 点评 a b n展开式各二项式系数和为2n 只与n有关 而展开式中各项的系数和还与a b中的系数有关 一般用赋值法求解 而展开式奇数项的二项式系数和与偶数项二项式系数和相等 而系数和一般不具有类似性质 要用比较的方法学习 二项式定理的应用 点评 抓住二项展开式的特点 对已知问题进行整体转化 对于有规律的组合式子的研究 可以从整体结构出发 向二项式定理转化 这样可以简化解决问题的过程 1 在二项式的展开式中 含x4的项的系数是 解析 通项 由10 3r 4 得r 2 则含x4的项的系数是 10 11 6 20 5 已知的展开式中偶数项的二项式系数之和比 a b 2n的展开式中奇数项的二项式系数之和小120 求第一个展开式的第三项 解析 第一个展开式中偶数项的二项式系数之和为2n 1 第二个展开式中奇
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